I
Séries de Fourier
287
Si f estpfois dérivable, onrecommencepfoiseten(f) = (i~y en(f(p)).
Comme
len(f(p))I = I_!_ f
2
7r j 271" } 0
271"
on a bien Cn (f) = 0 ( ! ) , (notation de Landau).
•
COROLLAIRE 15.20. - Une fonction 211" périodique de classe C 2 de IR dans
C est limite uniforme de sa dérivée de Fourier.
Puisqu'alors len(f)I est o(~ 2 ), la norme infinie de la fonction t -v+
en(f)eint est len(f)I : il y a convergence normale de la série de fonctions,
donc convergence uniforme, et on applique le théorème 15.18.
•
En fait on a mieux.
THÉORÈME 15.21. - Si une fonction f, 271" périodique de R dans C
est continue, de classe C 1 par morceaux, sa série de Fourier converge
uniformément vers f, et même normalement.
Oil suppose f de classe C 1 par morceaux donc il existe des réels
ao = 0 < a1 < . . . < ak = 271", en nombre fini, ~ls que sur chaque
]aj,aj+I[, (j = o, ... ,k - 1) f soit de classe C 1 , f et!' ayant des
limites à droite et à gauche en chaque aj.
Ceci n'impose pas la continuité de f, mais ici on la suppose. On a alors,
pourn#O
1 lo27r
1 k-11oi+l
enU) = u, en} = - 2 J(t)e-intdt = - 2 L:
J(t)e-intdt
71" 0
71" . 0 Q·
3=
3
1
0·+1
et chaque intégrale
0
.
3
f ( t) e -int dt se calcule par parties. Avec
3
u(t) = J(t) et dv = e-intdt, il vient du= J'(t) dt et v(t) = !_ e-int d'où
n