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Analyse fonctionnelle
fonction? Certainement pas si f n'est pas continue! On va donc se
placer dans le cadre de l'espace E des fonctions continues de IR dans
C, 271" périodiques. On dispose alors de la norme hermitienne définie par
(
1 [27r
)1/2
li/li= 2 71" Jo l/(t)1 2 dt , mais aussi de la norme de la convergence
uniforme 11/lloo = sup{l/(t)l;t E [0,27r]}. Comme li/li ~ 11/lloo,
(majoration immédiate dans l'intégrale) il est clair que si la série de
Fourier de f continue est convergente, pour Il lloo, vers ... je ne sais
pas moi, disons un élément g de E, alors l'inégalité : llPN{f) - gll ~
llPN{f)- glloo,jointe à lim llPN{f)- glloo = 0, implique le fait que
N-++oo
les { PN (!)) N EN convergent vers g pour la norme hermitienne, d'où g = f
puisque l'égalité de Bessel nous assure la convergence des PN(f) vers/,
pour la norme hermitienne.
On a donc:
THÉORÈME 15.18. - Si la série de Fourier d'une fonction 271" périodique
continue f de R dans C «converge uniformément » c'est forcément vers f.
Les guillements sont là pour rappeler que c'est la limite de la suite
N
des sommes symétriques, PN(f) = L en(f)en que l'on considère. •
n=-N
Peut-on alors trouver des conditions de convergence uniforme de cette
série? Oui ...
THÉORÈME 15.19. - Si f est 271" périodique de IR dans C, de classe GP,
1
(p ~ 1) ses coefficients de Fourier en(!) sont de l'ordre de .,,;p' (n # 0).
Une intégration par parties, pour n # 0, donne
en(!) = 21 [27r f (t) . e-int dt
7r Jo .._..,,. .___..,
u
dv
= _i_ e-int f(t)
- _i_
f'(t)e-int dt
[ .
] 27r
. 127r
27rn
0
27rn 0
1
donc en{!) = -:-- en(!') puisque, par périodicité de/, le crochet est nul.
in