Séries de Fourier 285
calcul donnant l'inégalité de Bessel, (voir 15.17),
( ~(/) - =~N Je.(/) J 2 ) ' / ' ~ .j ~(f - PN(/))
= V ~ J ~Ve+ V (PN(l) - PN(f))
avec V (PN(l) - PN(f)) ~ ,/€,quelque soit N, comme nous venons de
le voir.
On a donc, pour ce choix de f, et pour tout N,
Mais pour 1 continue, 27r périodique on sait que lim (J - PN (1)) = 0
N-.+=
(c'est la traduction de l'égalité de Bessel) donc 3no, 'VN ~ no,
N
'Vê > 0,3no,'VN ~ no,O ~ (!)- L len(f)l 2 = n=-N
ce qui prouve bien la convergence de la série des len(f) 1 2 vers(!) (égalité
de Bessel) et aussi le fait que(! - PN(f)) tend vers 0, mais attention,
sur F, n'est pas le carré d'une norme.
•
3. Etude de la convergence uniforme de la série de Fourier
Avoir l'égalité de Bessel c'est bien, mais cela ne donne que la valeur
f 21r
de l'intégrale Jo lf(t)1 2 dt. Si on veut une connaissance des valeurs
de la fonction à partir de sa série de Fourier, il faut encore travailler.
Peut-il y avoir convergence uniforme de la série de Fourier vers sa