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Analyse fonctionnelle
d'où dans un premier temps la convergence de la série des len(J)l 2 et le
1 [27r
fait que la somme soit majorée par
Sur [O, 271"], f présente un nombre fini, p, de discontinuités. Posons
f(t) = u(t) + iv(t), u et v à valeurs réelles.
Soit a une discontinuité de /,et soit a > 0, assez petit pour que sur
[a - a, a+ a], a soit le seul point de discontinuité.
On considère les fonctions affines îi et v, définies sur [a - a, a+ a]
enjoignant les points (a - a,u(a - a)) et (a+ a,u(a +a)) d'une part
(a - a, v(a - a)) et (a+ a, v(a +a)) d'autre part.
On fait ce bidouillage pour chaque discontinuité de f.
Enfin, pour a E]O, 27r[ on impose à a d'être assez petit pour que
[a - a, a+ a] C [O, 27r], (ceci en vue d'obtenir une fonction 271" périodique)
et si a = 0, le travail fait en a est valable en 271" vu la périodicité de f.
En défü~ssant alors 1 en dehors des [a - a, a+ a] par l(t) = f(t),
on obtient f fonction continue de Ill dans C, 271" périodique, égale à f en
dehors de p segments de longueur 2et chacun.
Sur chacun de ces segments, on a lu(t) - îi(t)I ~ 2llulloo et
lv(t) - v(t)I ~ 2llvlloo d'o?I l/(t) - l(t)1 2 ~ 4(llulJ~ + llvll~).
On aura donc
1 127r
1
71" o·
71"
Il en résulte que 'Ve > 0, on peut choisir a assez petit E_Our que ce majorant
soit inférieur à e, (p étant fixe), donc 'Ve > 0, 3/ continue telle que
PN(J) - PN(l) avec f - PN(J) et 1- PN(l) dans ECJy, (conjugué pris
dans F pour cp et non plus orthogonal dans E pour (, ) ), et PN (!) - PN (1)
dans EN. Donc d'où, Mais alors, en utilisant l'inégalité de Minkowski, valable pour une forme
hermitienne positive, (Algèbre, Théorème 12.35) il vient, en partant du
Analyse fonctionnelle
d'où dans un premier temps la convergence de la série des len(J)l 2 et le
1 [27r
fait que la somme soit majorée par
Sur [O, 271"], f présente un nombre fini, p, de discontinuités. Posons
f(t) = u(t) + iv(t), u et v à valeurs réelles.
Soit a une discontinuité de /,et soit a > 0, assez petit pour que sur
[a - a, a+ a], a soit le seul point de discontinuité.
On considère les fonctions affines îi et v, définies sur [a - a, a+ a]
enjoignant les points (a - a,u(a - a)) et (a+ a,u(a +a)) d'une part
(a - a, v(a - a)) et (a+ a, v(a +a)) d'autre part.
On fait ce bidouillage pour chaque discontinuité de f.
Enfin, pour a E]O, 27r[ on impose à a d'être assez petit pour que
[a - a, a+ a] C [O, 27r], (ceci en vue d'obtenir une fonction 271" périodique)
et si a = 0, le travail fait en a est valable en 271" vu la périodicité de f.
En défü~ssant alors 1 en dehors des [a - a, a+ a] par l(t) = f(t),
on obtient f fonction continue de Ill dans C, 271" périodique, égale à f en
dehors de p segments de longueur 2et chacun.
Sur chacun de ces segments, on a lu(t) - îi(t)I ~ 2llulloo et
lv(t) - v(t)I ~ 2llvlloo d'o?I l/(t) - l(t)1 2 ~ 4(llulJ~ + llvll~).
On aura donc
1 127r
1
71" o·
71"
Il en résulte que 'Ve > 0, on peut choisir a assez petit E_Our que ce majorant
soit inférieur à e, (p étant fixe), donc 'Ve > 0, 3/ continue telle que
PN(J) - PN(l) avec f - PN(J) et 1- PN(l) dans ECJy, (conjugué pris
dans F pour cp et non plus orthogonal dans E pour (, ) ), et PN (!) - PN (1)
dans EN. Donc d'où, Mais alors, en utilisant l'inégalité de Minkowski, valable pour une forme
hermitienne positive, (Algèbre, Théorème 12.35) il vient, en partant du