Séries de Fourier
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q
bien considérer L c,,,U)en, projection orthogonale de f sur Ep,q =
n=-p
Vect(e-p, ... , eo, ... , eq).
En fait, le résultat s'étend à l'espace F des applications continues par
morceaux, 271" périodiques.
1 f 27r
THÉORÈME 15.16. -L'égalité de Bessel, L lc,,,U)l 2 = 2 71" Jo lf(t)1 2 dt
nEZ
0
est valable pour f continue par morceaux, 271" périodique de IR dans C.
On revient donc à l'espace F muni de la forme hermitienne

mais non définie cette fois.
On introduit c,,,U) = cp(en, !) = 2 ~ fo
2 -rr f(t)e-intdt, et on considère
N
PNU) = L c,,,U)en. La f~mille (ek)kez est orthonormée pour cp,
n=-N
donc si on calcule cp(PNU) - f, ek) pour lkl ~Nil vient
cp(PNU) - f, ek) = cp(PNU), ek) - cpU, ek)
N
= L c,,,U)cp(en, ek) - ckU)
n=-N
avec les cp(en, ek) nuls sin =f. k et cp(ek, ek) = 1, donc il reste
Onaf-PNU) dans le conjugué de EN= Vect(e-N,e_N+l• ... ,eN)
donc conjugué en particulier de PN U) et il vient
N
Comme n=-N
orthonormée pour N
L lc,,,U) 2 1 = n=-N