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Analyse fonctionnelle
En effet, en gardant les notations précédentes, soit Q une fonction
dans EN. On a/- Q = f- PN(f) + PN(f) - Q avec/- PN(/) dans
(EN).l. etPN-Q E EN d'où ll/-Qll 2 = llf-PN(/)11 2 +llPN(/)-Qll 2 :
il en résulte que Il/ - PN(/)11 ~ Il/ - Qll, on dit encore que PN réalise
la meilleur approximation de f dans EN.
Or l'algèbre des polynômes trigonométriques, c'est-à-dire l'algèbre A
des fonctions du type t ---+ Q( t) = L akeikt, les ak ·étant presque tous
kEZ
nuls, est une algèbre qui sépare les points (t, t') lorsque t- t' f/. 27rl, elle
contient les constantes et elle est stable par passage au conjugué donc,
d'après le Théorème de Stone Weierstrass (Tome 2, corollaire 12.66) on
sait qu'elle est partout dense pour la norme de la convergence uniforme
dans l'espace des fonctions continues, 211" périodiques.
On a donc:
Ve> 0, 3Q polynôme trigonométrique tel que Il/ - Qlloo ~ e, avec
Il/ - Qlloo = sup{l/(t) - Q(t)I; t E [O, 211"]}.
8
Si Q s'écrit L akek, et si No = sup{lrl, lsl}, alors
k=r
VN ~No, Q E EN et llf-PN(/)11 2 ~ ll/-Qll 2
1 [27r
= 2 11" lo l/(t) - Q(t)1 2 dt
1
2
2
~ - ·27r·e =e.
211"
On a donc: Ve> 0, 3No EN, VN ~No:
N
o ~Il/ - PN(/)11 2 =11111 2 - L len(/)1 2 ~ e 2
n=-N
ce qui justifie la convergence de la série des (len(f)l 2 )nEZ vers 11/11 2 . •
REMARQUE 15.15. - On a justifié en même temps la convergence de la
suite des PN(f) vers f dans l'espace préhilbertien E, d'où l'on déduit
celle de la série des (Cn(/)en)nez vers f dans E car, dans ce qui précède,
la sommation symétrique en n n'était pas nécessaire. On pouvait fort