Séries de Fourier
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Pour f E E et N E N, on a
N
N
PN(f) = L en(f)en = L (en,f)en:
n=-N
n=-N
c'est la projection orthogonale de f sur EN= Vect(e-N, e-N+l• ... , eo,
... , e N) puisque cette famille est orthonormée, (voir Algèbre, 12.38).
On a alors f = PN(f)+ f-PN(f), avec PN(f) dans EN et f-PN(f)
dans (EN), d'où
avec
11111 2 = llPNU)ll 2 +Il! - PN(f)ll 2
N
llPN(f)ll 2 = L l(en,!)1 2 ,
n=-N
puisque PN (f) est décomposé dans une base orthonormée de EN. Il en
N
résulte que, 'tin EN ona L len(f)l 2 = llfll 2 -llf-PN(f)ll 2 ~ 11!11 2 .
n=-N
La série de terme général positif len(f)l 2 , (indexée par "l.), est donc
convergente car, 't/p E N, 't/q E N, avec N = sup(p, q), on a
q
N
L len(f)l 2 ~ L len(f)l 2 ~ 11111 2
n=-p
n=-N
d'où l'existence de la limite des sommes partielles lorsque p et q tendent
vers +oo, et le fait que la somme soit majorée par 11!11 2 . On obtient ce
qu'on appelle
15.13. l'inégalité de Parseval Bessel : soit f de IR dans C, continue, 2rr péri·
1 ln27l"
odique, la série des len(f)l 2 converge et L len(f)l 2 ~ -
lf(t)1 2 dt.
271" 0
nEN
En fait, on a mieux : il y a égalité.
THÉORÈME 15.14. (Egalité de Bessel) - Soit f continue, 271" périodique de
IR dans C, on a
+oo
l {27!"
L len(f)l 2 = 2 71" Jo lf(t)1 2 dt.
n=-oo
0