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Analyse fonctionnelle
Il s'agit de nombres réels si f est à valeurs réelles, appelés également
coefficients de Fourier de f.
Le calcul précédent montre que, ' en(/) = an(/) - ibn(/).
2
ao(/)
On peut remarquer que CO(/) = - 2 - car bo (!) = O. De plus
l'application n - an(/) est paire, alors que n - bn(/) est impaire sur l.
On a alors, en notant an, bn et Cn les coefficients introduits pour f E F,
(au lie1;1. de an(/), bn(/) et en(/)) :
·
·
an-ibn
eneinx+c ne-mx=
(cosnx+isinnx)
-
2
an+ ibn (
. .
)
+ 2 cosnx - i smnx
= ~(2an cosnx + 2bn sin nx), soit
eneinx + C-ne-inx =an COSnX + bn sinnx,
et on appelle, dans le cas où f est à valeurs réelles, série de Fourier de f
la série de fonction de terme général (an(/)cosnx + bn(/)sin nx).
C'est une des raisons pour lesquelles, dans le cas complexe, on étudie
la série de Fourier de f continue par morceaux, 271" périodique en sommant
symétriquement en n et en introduisant les expressions
15.12
N
N
PN(f)(x) = L en(f)einx_ = a; + ~)an(f)cosnx + bn(/)sin nx),
n=-N
n=l
définies pour N E N*. La raison essentielle est que cette expression
symétrique se prête mieux aux calculs.
2. Egalité de Besse!
Commençons le travail dans le cadre des fonctions continues, 271"
périodiques. L'espace E est préhilbertien, (non de Hilbert).