Séries de Fourier
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DÉFINITION 15.9. - On appelle série de Fourrer de f continue par
morceaux, 27!' périodique, de IR dans C, la série de fonctions des (en(f)en)nEZ·
C'est la série de fonction X~ en(f)einx, XE IR.
Le but de ce chapitre est d'étudier, pour quelles hypothèses, et quel
mode de convergence, la série de ces fonctions converge, et vers quoi.
Dans cette démarche on part de f, continue par morceaux, 271' périodique et on calcule les coefficients en(!). Mais on pourrait se donner une
famille (en)nez de complexes, considérer la série de fonctions de terme
général enen et, moyennant des hypothèses sur les en, étudier sa convergence.
15.10. Dans ce cas, on appellera séri.e trigonométrique la série de terme
général enen.
Un calcul utile dans le cas réel
Comme on a eint = cos nt + i sin nt, on aura, pour f dans F,
1 {27r
i {27r
en(!)= 2 71" lo f(t)cosnt dt- 2 71' lo f(t)sinnt dt
mais aussi,
1 {27r
i {27r
C-nU) = 2 71' lo f (t)cos nt+ 2 71' lo f(t)sin nt dt
d'où
1 127r
en(!)+ C-nU) = -
f(t)cosnt dt
71' 0
et
· 127r
en(!) - C-nU) = - i
f (t)sin nt dt.
71' 0
Traditionnellement, on pose :
15.11
an(!)=.!_ f
2 7r f(t)cosnt dt et
71' lo
bn(f) = .!_ f
2
7r f(t)sin nt dt, et ceci pour tout n del.
71' lo