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Analyse fonctionnelle
Il faut remarquer que E est sous-espace de D lui-même sous-espace
deF.
Sur F x F définit une forme sesquilinéaire à symétrie hermitienne,
t.p, par
15.4.
1 f 27r
i,p(f, g) = 2 11" lo f(t)g(t) dt.
On a bien semi-linéarité par rapport à la première variable, f, et
linéarité par rapport à la seconde, l'intégrale existant puisque f g est
continue par morceaux sur [O, 27r].
La forme hermitienne associée est positive sur F, non définie, car
1 f 27r
Vf E F, (!) = 2 11" Jo lf(t)1 2 dt~ 0, mais(!)= 0 implique f(t) = 0
en tout point de continuité, mais on ne sait rien de f ( xo) en xo point de
discontinuité.
Par contre, sur E, (fonctions continues), induit une forme définie
positive, d'où une norme. On notera (f,g) au lieu de i,p(f,g) le produit
scalaire induit par t.p sur E, et li/li = ,/AA la norme associée.
Soit par ailleurs la famille ( en)nez des fonctions de E, donc de D et
de F définies par :
15.5.
VnEZ, VtEIR, en(t)=eint.
THÉORÈME 15.6. -Les fonctions ( en)nez forment une famille orthonormée
de fonction de E, et de F.
Car, si n =f m,
(en, em) = -
ei(m-n)t dt = .
[ei(m-n)t]27r = 0 et si
1 127r .
1
.
27r o
2i(m - n)7r
O
1 f 27r
m = n, (en, en)= 2 11" Jo dt= 1.
•
On note i,p(en, em) au lieu de (en, em) si on considère les en dans F.
DÉFINITION 15.7. - On appelle coefficients de Fourier de f dans F, la
famille de complexes (en(f))nez définis par en(!) = i,p(en, !).
1 f 27r
.
15.8. Donc en(!) = 2 11" Jo f (t)e-int dt.