CHAPITRE 15
Séries de Fourier
Nous allons, sur un exemple, appliquer ce que nous avons vu concernant les formes hermitiennes, mais aussi certains raisonnements vus lors
de l'étude des espaces préhilbertiens réels.
1. Trois espaces fonctionnels
DÉFINITION 15.1. - Une fonction f définie sur un intervalle Ide R, à
valeurs dans E espace topologique est dite continue par morceaux si et
seulement si, pour tout segment [a, b] de I elle n'a qu'un nombre fini de
discontinuités, et si en chaque discontinuité xo lim f(x) et lim f(x)
+
-
:c-+:z::o
:z::-+:z::o
xEI
xEI
existent.
15.2. On dit encore que les discontinuités sont régulières.
Il faut remarquer que si xo est une base de I la condition d'existence
des limites ne porte plus que sur une·limite.
15.8. Notations
On introduit alors E, espace vectoriel des applications continues de
IR dans C, 27r périodiques; puis F espace des applications de IR dans C,
continues par morceaux, 27r périodiques; et enfin D sous-espace de F
formé des applications telles qu'en tout point on ait
f (xo + 0) + f (xo - 0)
.
f(xo) =
2
, avec f(xo + 0) = hm f(x) et
x-+xci
f(xo - 0) = lim f(x). Les points de discontinuité de f et de D sont
X-+X(Ï
encore dits réguliers de première espèce.