274
Analyse fonctionnelle
20.
Ona
n
(det (A+ B))lln =
1
II(À· +µ-)lin
(detP) 2 1n .
'
'
•=l
et
(detA)l/n + (detB)lln =
1
(IIn À~ln + IIn µ~ln)
(detP) 2 1n
•
•
i=l
i=l
et on doit montrer que
n
n
n
II À:ln +II µ:ln ~ II (Ài + µi)lln
i=l
i=l
i=l
Si l'un des µi est nul, c'est évident, (les autres étant ~ 0) et s'ils sont tous
non nuls, c'est équivalent à
n (Ài)lln
n (
Àï)lln
1+II _
~II 1+i=l µi
i=l
µi
ce qui est vérifié d'après la première partie de l'exercice.
On a bien finalement (det B) 1 1n + (det A) 1 1n ~ (det (A+ B)) 1 fn.
1
1
On a Otïj =
(
) donc /3ij = bibjOtij est tel que /3ij = -+-b·b · ai+ a;
Uï
u;
• 3
bi
b;
avec Ui = :: . Soit X et Y deux matrices colonnes d'ordre n, et X' et Y' les
matrices colonnes des x~ = biXi et y~ = biYi· Avec B matrice des /3ij on a :
txBY = L /3ijXiYi = L oii;bixib;Y; = L oii;x~yj
l.,,;;i,j.,,;;n
l.,,;;i,j.,,;;n
l.,,;;i,j.,,;;n
=tX'AY'.
On considère alors l'espace vectoriel E des fonctions définies continues sur
]O, l], à valeurs réelles, telles que 1
1
/ 2 converge.
C'est un espace vectoriel car si f et g sont dans E, comme 21/ gl ~ / 2 + g 2 ,
1
1 fg est absolument convergente, donc 'V(À,µ) E R 2 , 1
1 (Àf + µg) 2
converge. On vérifie que cp : E 2 ........+ R définie par cp(f,g) = 1
1 fg est
bilinéaire symétrique définie positive.