Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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Soit fi : t .,.... tui-'2", Ui > 0 les fonctions fi sont dans E. Si u1, ... , Un
sont distincts, les fonctions fi forment une famille libre (si Àl, ... , Àn
n
l
'"" \ tUi-1/2
0
• lifi
tu· -1/2
sont te s que ~ "i
= , en « sunp ant » par •o
avec
i=l
Uio = inf{ui, i = 1, ... , n} et en faisant tendre t vers 0 on a Àio = 0,
et on itère), donc dans F = Vect (Ji, ... , f n), la matrice des - - 1 - est
Ui +uj
celle des
1
Ui +uj
(Ui et u; > 0). Cette matrice est donc définie positive. Mais alors, 'VX' de
Mn,1 (R), tx' AX' ~ 0 et c'est nul si et seulement si X' = 0, puisque c'est
txBX avec B définie positive, et que X= 0 {:::}X'= O.
Si les Ui ne sont pas tous distincts, la forme cp est positive (non définie),
donc A sera positive. En fait le rang de B est celui de la famille des fi,
(si {fi 1 , ... , Îir} libre, cpl
avec G = Vect (/i 1 , ... , Îir) est définie
GxG
positive et les colonnes d'indice j ~ { i 1, ... , ir} sont combinaisons linéaires
des colonnes d'indice dans {ii, ... , ir }), d'où également A de rang égal au
bd
aidi.
nom re e Ui = bi stincts.