Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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donnent
La matrice de passage P de B à C = {e1, ... ,en} est triangulaire avec les
~ sur la diagonale, et comme tp AP = In. on a
\
k)
n
n
detA = (det1P)2 =II (e~) ~ II akk·
k=l
k=l
19. La matrice A, symétrique définie positive est diagonalisable dans le groupe
orthogonal : il existe S orthogonale telle que s- 1 AS = diag (>.i, ... , >.n)
avec les Ài > O. Mais alors s- 1 (I + A)S = diag (1+>.i, ... ,1 + >.n) et
on doit prouver que
(
n
) l/n
( n
) l/n
1 + }] Ài
~ }] (1 + Ài)
'
(
n
) 1/n
soit avec F, fonction définie pour t ~ 0 par F(t) = }] (t + >.i)
, que
F(l) ~ 1 + F(O).
La fonction Fest dérivable, donc par accroissements finis, il existe c E]O, 1[
tel que F(l) - F(O) = lF'(c).
F'(t)
1 n
1
n
1
1 n
1
Or -
= - '"" - - d'où F 1 (t) = II.i)n · - '"" - - et
F(t)
n ~ t + Ài
.
n ~ t + Ài
•=1
•=1
•=1
Ln(F'(t)) = . !_ ~ Ln(t + >.i) +Ln (.!_ ~ ~)
nL..J
nL..Jt+"'i
i=l
i=l
-Ln -
- - - -
Ln - -
(
1 n
1 )
1 n
(
1 )
-
nt;t+>.i
nt;
t+>.i ·
Par concavité de la fonction logarithme, on a donc Ln ( F' ( t)) ~ 0 d'où
F'(t) ~ 1 et :finalement F(l) ~ F(O) + 1 soit
(det (1 + A)) 1 1n ~ 1 + (det A) 1 1n.
Soit maintenant B symétrique positive, on peut réduire simultanément
les deux matrices à une forme diagonale : il existe P régulière telle que
tPAP = diag(>.i, ... ,>.n) et tPBP = diag(µi, ... ,µn) d'où
tP(A + B)P = diag (>.1 + µ1, ... , Àn + µn) avec les Ài > 0 et lesµ; ~ O.