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Analyse fonctionnelle
n
Pour x = LXiei on a
i=l
L'inégalité de Cauchy Schwartz, dans Rn euclidien canonique, pour les nuplets (À1xi, ... , ÀnXn) et (x1, ... , Xn) donne:
d'où 0 ~ c,o(x) ~ 1.
n
La fonction c,o est majorée par 1, borne atteinte pour x tel que x et L ÀiXiei
i=l
soient liés, donc pour les vecteurs propres de chaque sous-espace propre.
On peut constater que c,o est invariante par homothétie. Si elle n'est pas
constante, avec u et v tels que c,o(u) =f. c,o(v), u et v dans E - {O} avec
u' =tu et v' = tv, on a lim c,o(tu) = c,o(u) et lim c,o(tv) = c,o(v) donc c,o
t-+O+
t-+O+
n'est pas prolongeable par continuité en O.
Donc, si f est une homothétie, c,o est constante sur E - {O}, (égale à 1),
donc prolongeable par continuité en 0; sinon, on a au moins deux valeurs
n
propres distinctes et on peut prendre x tel que x et f ( x) = L ÀiXi ei soient
i=l
indépendants, d'où c,o(x) < 1. Dans ce cas c,o est non constante donc non
prolongeable par continuité en O. La borne inférieure existe et est atteinte
puisque les valeurs de c,o sont les valeurs prises sur la sphère unité compacte.
18. Sur Rn rapporté à sa base canonique B = {e1, ... , en}, la forme quadratique de matrice A dans la base B, est définie positive. On applique à la
base B le procédé d'orthonormalisation de Schmidt : on pose e1 = ~,
(e1)
et si on suppose connus les vecteurs e1, ... , êk-1• on détermine d'abord
k-1
e~ = ek - L Àjêj, avec c,o(e~, êj) = O,j = 1, ... , k - 1, puis on prend
j=l
'
k-1
ek = k>· Comme ek = e~ + L Àjêj, les relations d'orthogonalité
(ek)
j=l