Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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16. Si on note Cj le vecteur colonne des (mij). 1 ~ i ~ n, on a (Ci, Cj) = 0
pour i :f: j. Or le terme général de la matrice symétrique A = tM M est
précisément :
n
o:i,j =(Ci, Cj) = L mikmkj
k=l
n
donc A est une matrice diagonale avec O:ii = L(mki) 2 ~ nC 2 d'où
k=l
n
(detM) 2 = det(tMM) =II O:ii ~ (nC 2 )n
i=l
d'où ldet Ml ~ cnn -2' .
Si M est inversible, la famille des vecteurs colonnes est cette fois libre. On
orthogonalise par le procédé d'orthonormalisation de Schmidt : il existe une
base {B1, ... , Bn} orthogonale, avec des relations du type Bj = Cj +
j-1
L XkBk, donc une matrice de passage triangulaire T ayant des 1 sur la
k=l
diagonale, donc det (M) = det ( C1, IC2 I -.. ICn) = det (B1 IB2 I · .. IBn).
La première partie asosciée à la matrice B des vecteurs colonnes Bj donne
n
n
(detM) 2 ~II11Bill 2 , avec 11Bill 2 = L(.Bkj) 2 si Bj est la colonne des
j=l
k=l
j-1
Or Cj = Bj - L:xkBk, avec Bi, ... , Bj-1 orthogonaux à Bj. donne,
k=l
pour la norme euclidienne l IBj 11 2 ~ l IGj 11 2 , d'où finalement la majoration
n
ldetMI ~II llCill ~ (vnC)n
j=l
la même majoration s'obtient.
17. Comme 0 n'est pas valeur propre de f, le noyau de f est réduit à 0 donc cp
est définie continue de E - {O} dans R.
Soit B = (el, ... , en) une base orthonormée de vecteurs propres de f pour
les valeurs propres .>.i, ... , Àn, telles que