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Analyse fonctionnelle
Par j - 1 transposition, on amène la première colonne en lme position et
on a le numérateur du quotient donnant Àj, donc
det (Ç(x, vi, v2, ... , vn)) = llxll 2 det (Ç(V))
n
+ ~::)-l)J+j-l(x,vj)Àj det (Ç(V))
j=l
~ (detY(V)) (llxll 2 - t.(x,>.;v;))
= (det (Ç(V)))(x,x -y).
Mais (x, x - y) = (x, z) = (y + z, z) = l lzl 1 2 car y E F et z E pl.. d'où
det (Ç(x, vi, v2, ... , vn)) = llzll 2 det (Ç(V)) : c'est la relation voulue.
14. Soit E l'espace vectoriel des applications intégrables de [a, b] dans R et cp la
forme bilinéaire symétrique défi.nie par cp(f,g) =lb f(t)g(t)dt.
La forme cp est positive, (non défi.nie car
Si {fi, ... , fn} est libre, sur F = Vect (fi, ... , fn), la famille B =
{fi, ... , f n} est une base de F et la matrice A est celle de la forme positive
' J; induite par valeurs propres de A qui sont positives d'où det (A) ;;;?: O.
Si {/1, ... , fn} est liée, l'un des vecteurs, fj, est combinaison linéaire des
autres donc une colonne de A est combinaison linéaire des autres. On a
detA = 0, d'où detA;;;?: O.
Si det A = 0, c'est que soit {li, ... , f n} est liée; soit elle est libre mais alors
le cône isotrope de ' J; n'est pas {O} donc il existe 01, ... , an scalaires tels
que la fonction cp = aif1 + a2f2 + ... + anfn soit nulle presque partout.
15. On justifie la nullité de cp(Àx + >.' x') - Àcp(x) - >.' cp(x'), avec x et x' dans
E et À,>.' dans R, en montrant son appartenance à El.. = {O}. Pour tout z
deEona:
(cp(>.x + >.' x') - Àcp(x) - >.' cp(x'), z)
= (cp(>.x + >.' x 1 ), z) - À(cp(x), z) - >.' (cp(x 1 ), z)
= -(>.x + >.' x', cp(z)) + >.(x, cp(z)) + >.' {x', cp(z)) vu l'hypothèse,
= (->.x - >.'x' + Àx + À 1 x 1 , cp(z)) = 0
(bilinéarité du produit scalaire).
Analyse fonctionnelle
Par j - 1 transposition, on amène la première colonne en lme position et
on a le numérateur du quotient donnant Àj, donc
det (Ç(x, vi, v2, ... , vn)) = llxll 2 det (Ç(V))
n
+ ~::)-l)J+j-l(x,vj)Àj det (Ç(V))
j=l
~ (detY(V)) (llxll 2 - t.(x,>.;v;))
= (det (Ç(V)))(x,x -y).
Mais (x, x - y) = (x, z) = (y + z, z) = l lzl 1 2 car y E F et z E pl.. d'où
det (Ç(x, vi, v2, ... , vn)) = llzll 2 det (Ç(V)) : c'est la relation voulue.
14. Soit E l'espace vectoriel des applications intégrables de [a, b] dans R et cp la
forme bilinéaire symétrique défi.nie par cp(f,g) =lb f(t)g(t)dt.
La forme cp est positive, (non défi.nie car
Si {fi, ... , fn} est libre, sur F = Vect (fi, ... , fn), la famille B =
{fi, ... , f n} est une base de F et la matrice A est celle de la forme positive
' J; induite par valeurs propres de A qui sont positives d'où det (A) ;;;?: O.
Si {/1, ... , fn} est liée, l'un des vecteurs, fj, est combinaison linéaire des
autres donc une colonne de A est combinaison linéaire des autres. On a
detA = 0, d'où detA;;;?: O.
Si det A = 0, c'est que soit {li, ... , f n} est liée; soit elle est libre mais alors
le cône isotrope de ' J; n'est pas {O} donc il existe 01, ... , an scalaires tels
que la fonction cp = aif1 + a2f2 + ... + anfn soit nulle presque partout.
15. On justifie la nullité de cp(Àx + >.' x') - Àcp(x) - >.' cp(x'), avec x et x' dans
E et À,>.' dans R, en montrant son appartenance à El.. = {O}. Pour tout z
deEona:
(cp(>.x + >.' x') - Àcp(x) - >.' cp(x'), z)
= (cp(>.x + >.' x 1 ), z) - À(cp(x), z) - >.' (cp(x 1 ), z)
= -(>.x + >.' x', cp(z)) + >.(x, cp(z)) + >.' {x', cp(z)) vu l'hypothèse,
= (->.x - >.'x' + Àx + À 1 x 1 , cp(z)) = 0
(bilinéarité du produit scalaire).