Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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puisque tM = M.
On obtient pour S ( M) le carré de la norme euclidienne de M considéré
2
comme élément de Rn , d'où
n
S(M) = :~:)mii) 2 + 2 L (mij) 2
i=l
est bien forme quadratique définie positive sur les matrices symétriques.
13. Si la famille V est liée, l'un des Vj est combinaison linéaire des autres :
n
il existe j ~ n et des Àk, k =/= j, tels que Vj = L ÀkVk d'où, Vi,
n
k=l
k~j
(vi,Vj} = L Àk(vi,Vk}· La ime colonne de la matrice Q(V) est donc
k=l
k~j
combinaison linéaire des autres donc det (Ç(V)) =O.
Si V est libre, soit F = Vect(v1, ... ,vn), alors Q(V) est la matrice de
la restriction du produit scalaire à F, dans la base V de F : c'est une
matrice définie positive donc de déterminant strictement positif. On a donc
det (Q(V)) ;;;:: 0, et (det (Q(V)) > 0 <=>(V libre).
Si V est libre, avec E = F EB p.l., on décompose x en y + z avec y dans F
et z dans p.l. ét (d(x, F)) 2 = llzll 2 = llxll 2 - llYll 2 -
n
En posant y = L ÀjVj, on détermine les Àj en résolvant le système des n
j=l
n
équations (x - L ÀjVj, vi} = 0, soit encore des équations:
j=l
À1 (v1, Vi} + À2(v2, Vi} + ... + Àn(Vn, Vi} = (x, Vi}·
Donc Àj est le quotient du déterminant de la matrice obtenue en remplaçant
dans Q(v1, ... , Vn), la ime colonne par les (x, Vi}, et de det (Q(V)),
(formules de Cr,'· .ier).
Calculons det (Q(x, vi, v2, ... , vn)) en développant par rapport à la première ligne, il vient
n
det (Ç (x,vi, ... ,vn)) = llxll 2 det (Q(V)) + L(-l)l+i+l(x,vj}Dj
j=l
avec
Di= 1 ~~~·-~~- . . (~~:~.1.> .. ."."." .. ~~~'.~~~·1·}·. -~~1.'.~~::~ .. ::: .. ~~~'.~~:.1
(vn,x} (vn,v1} . . . (vn,Vj}
(vn,Vj+1} ... (vn,Vn}