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Analyse fonctionnelle
spectres {µi, ... , µk} et {>.1, ... , >.k} de B et A, telle que µ~ = Àj et
Ker (B - µjl) = Ker (A - Àjl) : B agit comme l'homothétie de rapport
V>;j sur Ej d'où l'unicité.
On peut vérifier que si les valeurs propres de A sont distinctes, la solution
B est unique, car si { ei, ... , en} est base de vecteurs propres pour A, avec
Aej = Àjej, comme B et B 3 =A commutent, on a A(Bej) = B(Aej) =
Àj (Bej) donc Eej E Ker (A - Àjl) =Rej d'où µj tel que Bej = µjej et
B 3 = A.donne µj = V>;j.
Dans la base B = { ei, ... , en}, la matrice semblable à B est unique, c'est
diag(~, ... , ~).
Par contre, si A a une valeur propre multiple, il y a non unicité, (utiliser le
cas A = ( 6 ~) pour la mise en forme).
10. Sur E = Rn euclidien canonique, soit B = (ei, ... , en) la base orthonormée canonique, et a l'opérateur de matrice A dans la base B, cet
opérateur est auto-adjoint donc il existe une matrice orthogonale P telle que
p- 1 AP = D = diag (>.1, ... , Àn) avec les Ài ~ O. On pose µi = A
et tl. = diag (µi, ... , µn), on a tl. 2 = D, donc p-l AP = tl.tl. d'où
A = P f:l.p-l P f:l.p-l. Soit f3 l'opérateur de matrice B = P f:l.p-l dans
la base B, on a tB = B donc f3 est auto-adjoint et comme le terme général
aij de A est aij = (ei, a( ej )) = (ei, {3 2 ( ej)) c'est aij = (/3* ( ei), /3( ej )) =
(/3(ei),/3(ej)). La famille des Vi = f3(ei) convient.
ll.
Le déterminant et la trace étant invariants par passage de A à A' semblable,
et A symétrique réelle positive étant semblable à D = diag (d1, ... , dn)
avec des dj ~ 0, le problème équivaut à justifier l'inégalité
C'est évident si l'un des dj est nul, et sinon, c'est équivalent à
n
1 ' "°' L ,.,_ ~ L di+ ... + dn
-;:;: L.,, og....;, "" og
n
i=l
vrai par concavité de la fonction logarithme.
12. La matrice M symétrique réelle est diagonalisable dans le groupe orthogonal. Avec P orthogonale telle que p-l M P = diag (>.i, ... , Àn), on a
p-l M 2 P = diag(>.~, ... ,>.;)donc S(M) = trace.M 2 . On a donc