Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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puisque f est une isométrie.
Mais (iii) ~ (x + f(x), f(x) + f 2 (x)) = 0 soit
(x, f(x)) + (x, f 2 (x)) + (f(x), f(x)) + (f(x), f 2 (x)) = 0
or (x, f(x)) = (f(x), f 2 (x)) = 0 d'après (iii} alors que (f(x), f(x)) =
(x, x) d'après (il), il reste llxll 2 + (x, f 2 (x)) = 0 d'où llx + f 2 (x)ll 2 = 0 et
(i).
3°)(i)et(iii)~(ii).(iii)~ (x+f(x),f(x)+f 2 (x)) =Oavecicif 2 =-id,
il reste (f(x) + x, f(x) - x) = 0, soit llf(x)ll 2 = llxll 2 : f, linéaire qui
conserve la norme sur E euclidien, est une isométrie d'où (ii).
8. Comme pour tout X, matrice colonne d'ordre n, on a tx(A + B)X =
tx AX + tx BX, positif comme somme de deux nombres positifs, la matrice
symétrique A+ Best positive donc Sp(A + B) C IR+.
Soit À E Sp(AB), (a priori À E C), et Z matrice colonne d'ordre n, complexe,
telle que ABZ = >.Z. Comme Best réelle symétrique, "13 = Beton a
tzt B(ABZ) = >.tzBZ = tz(tBAB)Z. Or B, symétrique réelle positive
est hermitienne positive donc tz B Z ~ O.
Si tz B Z = 0, Z est isotrope pour la forme hermitienne associée à B, comme
Best positive, c'est que BZ = 0, (diagonaliser B dans le groupe unitaire
pour le vérifier) donc ABZ = >.z avec BZ = 0 et Z =f. 0 d'où À= O.
Œt
t -
Si 'ZBZ > 0 alors>.= Z( BAB)Z = (BZ)A(BZ) est positif puisque
'
tzBZ
ÏZBZ
A est hermitienne positive.
On a bien À ~ 0 d'où Sp(AB) C IR+.
9. Si A est symétrique réelle, il existe P orthogonale telle que p- l AP = D
soit la matrice diag (>.i, ... , Àn). Soit 6 la matrice diagonale des {(Xj, on
a 6 3 = D d'où {PôP- 1 ) 3 = PDP- 1 =A. La matrice B = PôP- 1 est
une solution de l'équation B 3 = A.
Non unicité en général : exemple A = ( 5 ~), avec B = ( 5 ~) ou
B' = (~ =~) on a B 3 = I = B 13 • On peut remarquer que Best
diagonale mais pas B'.
Si on impose aux solutions B d'être diagonalisables il y a unicité.
Soit en effet (>.1, ... , Àk) les valeurs propres distinctes de A, de multiplicités
ai, ... , ak, et Ei, ... , Ek les sous-espaces propres.
Soit par ailleurs µune valeur propre de B (vérifiant B 3 = A), et F =
Ker (B - µ!). Comme B et A = B 3 commutent, Fest stable par A, donc
pour x E F, Ax = B 3 x = µ 3 x, les vecteurs non nuls de F sont vecteurs
propres de A, donc 3j ~ k, tel que µ 3 = Àj et F C Ej.
Les sous-espaces propres de B sont contenus dans des sous-espaces propres
de A. Comme B et A sont diagonalisables, il existe une indexation des
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puisque f est une isométrie.
Mais (iii) ~ (x + f(x), f(x) + f 2 (x)) = 0 soit
(x, f(x)) + (x, f 2 (x)) + (f(x), f(x)) + (f(x), f 2 (x)) = 0
or (x, f(x)) = (f(x), f 2 (x)) = 0 d'après (iii} alors que (f(x), f(x)) =
(x, x) d'après (il), il reste llxll 2 + (x, f 2 (x)) = 0 d'où llx + f 2 (x)ll 2 = 0 et
(i).
3°)(i)et(iii)~(ii).(iii)~ (x+f(x),f(x)+f 2 (x)) =Oavecicif 2 =-id,
il reste (f(x) + x, f(x) - x) = 0, soit llf(x)ll 2 = llxll 2 : f, linéaire qui
conserve la norme sur E euclidien, est une isométrie d'où (ii).
8. Comme pour tout X, matrice colonne d'ordre n, on a tx(A + B)X =
tx AX + tx BX, positif comme somme de deux nombres positifs, la matrice
symétrique A+ Best positive donc Sp(A + B) C IR+.
Soit À E Sp(AB), (a priori À E C), et Z matrice colonne d'ordre n, complexe,
telle que ABZ = >.Z. Comme Best réelle symétrique, "13 = Beton a
tzt B(ABZ) = >.tzBZ = tz(tBAB)Z. Or B, symétrique réelle positive
est hermitienne positive donc tz B Z ~ O.
Si tz B Z = 0, Z est isotrope pour la forme hermitienne associée à B, comme
Best positive, c'est que BZ = 0, (diagonaliser B dans le groupe unitaire
pour le vérifier) donc ABZ = >.z avec BZ = 0 et Z =f. 0 d'où À= O.
Œt
t -
Si 'ZBZ > 0 alors>.= Z( BAB)Z = (BZ)A(BZ) est positif puisque
'
tzBZ
ÏZBZ
A est hermitienne positive.
On a bien À ~ 0 d'où Sp(AB) C IR+.
9. Si A est symétrique réelle, il existe P orthogonale telle que p- l AP = D
soit la matrice diag (>.i, ... , Àn). Soit 6 la matrice diagonale des {(Xj, on
a 6 3 = D d'où {PôP- 1 ) 3 = PDP- 1 =A. La matrice B = PôP- 1 est
une solution de l'équation B 3 = A.
Non unicité en général : exemple A = ( 5 ~), avec B = ( 5 ~) ou
B' = (~ =~) on a B 3 = I = B 13 • On peut remarquer que Best
diagonale mais pas B'.
Si on impose aux solutions B d'être diagonalisables il y a unicité.
Soit en effet (>.1, ... , Àk) les valeurs propres distinctes de A, de multiplicités
ai, ... , ak, et Ei, ... , Ek les sous-espaces propres.
Soit par ailleurs µune valeur propre de B (vérifiant B 3 = A), et F =
Ker (B - µ!). Comme B et A = B 3 commutent, Fest stable par A, donc
pour x E F, Ax = B 3 x = µ 3 x, les vecteurs non nuls de F sont vecteurs
propres de A, donc 3j ~ k, tel que µ 3 = Àj et F C Ej.
Les sous-espaces propres de B sont contenus dans des sous-espaces propres
de A. Comme B et A sont diagonalisables, il existe une indexation des