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Analyse fonctionnelle
de Gramm). Montrer que det (Q(V)) ;;;i: O. A quelle condition est-ce
> O?
Soit x E E, F = Vect ( vi, ... , Vn), montrer que la distance de x à
Fest det(Q(x,v1,v2, ... ,vn)) . (
) l"b
d ( /'!(
))
s1 vi, . .. , Vn i re.
et ~ vi, ... ,vn
14. Soient Ji, ... , fn, n fonctions de [a, b] dans IR, intégrables sur [a, b],
et A la matrice carrée des aij = ib fï(t)f;(t)dt. Montrer que
det A ;;;i: O. Cas de nullité?
15. Soit E un espace préhilbertien réel et cp une application de E dans
E telle que 'v'(x, y) E E 2 , (x, cp(y)) +(y, cp(x)) =O. Montrer que cp
est linéaire.
16. Soit une matrice M came d'ordre n, de terme général mij, telle
'l'!e 1~;; Vl:ld;eurs colonnes de M soient deux à deux orthogonaux
dans IRn euclidien canonique. Si on a lmï;I ~ C, 'v'i, Vj, montrer
que ldet Ml ~ cnnn/ 2 • Généralisation au cas de M inversible.
17. Sur E euclidien, soit fun opérateur auto-adjoint à valeurs propres
strictement positives. Etude de la fonction cp définie pour tout x non
uld E
()
(!(x),x)2
(
. "é b
)
n
e par cp x = ll/(x)ll2llxll2 , contmwt, ornes.
18. Soit A = (aï;h.,.i,j.,.n une matrice symétrique définie positive.
n
Montrer que detA ~II ~i·
i=l
19. Soit A matrice symétrique réelle définie positive, B symétrique
réelle positive, toutes deux d'ordre n. Montrer que
1 + (det A) 1 1n ~ (det (I + A)) 1 1n puis que
· (detB) 1 /n + (detA) 1 /n ~ (det (A+ B)) 1 1n.
20. Soient ai, ... , an et bi, ... , bn des réels > O. Etude de la forme
quadratique=sur IRn de matrice symétrique A= (aï;h.,.iJ.,.n avec
1
a · · - - - - -
iJ - aibj + a;bi