Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
263
SOLUTIONS
1. Une démonstration algébrique du fait que AB et BA ont même polynôme
caractéristique, pour A et B dans Mn(K), est donnée en Algèbre 10.21.
En voici une autre propre au cas réel, (ou complexe). Si A est inversible, AB
et A- 1 (AB)A =BA, semblables, ont même polynôme caractéristique.
Comme GLneR) est partout dense dans MneR), et l'application qui à une
matrice associe les coefficients du polynôme caractéristique étant continue
(fonctions composantes polynômiales) le résultat s'en déduit pour A quelconque.
Ici, At A est symétrique (on transpose) réelle positive, car V X vecteur colonne
n
d'ordre n, avec Y= t AX ont xeAt A)X = tyy = LYf ~O.
i=l
On a de même t .4-4. symétrique, positive, avec même spectre.
Mais alors il existe U et V orthogonales telles que u- 1 et AA) U et
v- 1 eAt A)V soient diagonales. Si p.i, ... , >.n} est le spectre commun des
2 matrices, il existe u permutation de {1, ... , ri} telle que :
u- 1 et AA)U = diag e>.i. ... , >.n)
et
v- 1 (At A)V = diag (>.a(l), ... , Àu(n))·
Avec P matrice permutation associée à u, on aura donc
p-l(U-l(t AA)U)P = v-l(At A)V
d'où t AA = (UPV- 1 )(At A)(VP- 1 u- 1 ) soit tAA = w- 1 (AtA)W avec
w = vp- 1 u- 1 orthogonale car p l'est.
2.
a) L'application cp dépend linéairement de P et Q, elle est symétrique et
n
. cp(P, P) = L(p(k) (ak)) 2 ~ O. Si c'est nul, chaque p(k) (ak) = 0, en
k=O
particulier p(n)(an) = 0 or d 0 P ~ n, donc d 0 P ~ n - 1, mais alors
p(n-l) (an-1) = 0 donne d 0 P ~ n - 2 et finalement Pest une constante,
nulle car P(ao) =O. On a une forme bilinéaire symétrique définie positive.
b) Le procédé d'orthonormalisation de Schmidt (Théorème 14.8) appliqué à la
base canonique de Rn[x] fournit une base (Po, ... , Pn) orthonormée, formée
de polynômes de degrés échelonnés.
On a 11Poll 2 = (PJ 0 l(ao)) 2 = 1::::? PJ 0 \ao) = co avec co E {-1, l}, et
Po étant constant, V j -:f:. 0, pJi) (a;) = O.
Supposons (récurrence) que jusqu'au rang k, on ait P~k)(ak) = é"k E
{-1, 1} et, Vj -:f:. k, p~i)(a;) =O.
Pour Pk+l• de degré k + 1, on a déjà Vj > k + 1, P~~ 1 (a;)= O.
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SOLUTIONS
1. Une démonstration algébrique du fait que AB et BA ont même polynôme
caractéristique, pour A et B dans Mn(K), est donnée en Algèbre 10.21.
En voici une autre propre au cas réel, (ou complexe). Si A est inversible, AB
et A- 1 (AB)A =BA, semblables, ont même polynôme caractéristique.
Comme GLneR) est partout dense dans MneR), et l'application qui à une
matrice associe les coefficients du polynôme caractéristique étant continue
(fonctions composantes polynômiales) le résultat s'en déduit pour A quelconque.
Ici, At A est symétrique (on transpose) réelle positive, car V X vecteur colonne
n
d'ordre n, avec Y= t AX ont xeAt A)X = tyy = LYf ~O.
i=l
On a de même t .4-4. symétrique, positive, avec même spectre.
Mais alors il existe U et V orthogonales telles que u- 1 et AA) U et
v- 1 eAt A)V soient diagonales. Si p.i, ... , >.n} est le spectre commun des
2 matrices, il existe u permutation de {1, ... , ri} telle que :
u- 1 et AA)U = diag e>.i. ... , >.n)
et
v- 1 (At A)V = diag (>.a(l), ... , Àu(n))·
Avec P matrice permutation associée à u, on aura donc
p-l(U-l(t AA)U)P = v-l(At A)V
d'où t AA = (UPV- 1 )(At A)(VP- 1 u- 1 ) soit tAA = w- 1 (AtA)W avec
w = vp- 1 u- 1 orthogonale car p l'est.
2.
a) L'application cp dépend linéairement de P et Q, elle est symétrique et
n
. cp(P, P) = L(p(k) (ak)) 2 ~ O. Si c'est nul, chaque p(k) (ak) = 0, en
k=O
particulier p(n)(an) = 0 or d 0 P ~ n, donc d 0 P ~ n - 1, mais alors
p(n-l) (an-1) = 0 donne d 0 P ~ n - 2 et finalement Pest une constante,
nulle car P(ao) =O. On a une forme bilinéaire symétrique définie positive.
b) Le procédé d'orthonormalisation de Schmidt (Théorème 14.8) appliqué à la
base canonique de Rn[x] fournit une base (Po, ... , Pn) orthonormée, formée
de polynômes de degrés échelonnés.
On a 11Poll 2 = (PJ 0 l(ao)) 2 = 1::::? PJ 0 \ao) = co avec co E {-1, l}, et
Po étant constant, V j -:f:. 0, pJi) (a;) = O.
Supposons (récurrence) que jusqu'au rang k, on ait P~k)(ak) = é"k E
{-1, 1} et, Vj -:f:. k, p~i)(a;) =O.
Pour Pk+l• de degré k + 1, on a déjà Vj > k + 1, P~~ 1 (a;)= O.