Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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4. Soit Set T deux matrices symétriques de Mn(IR) telles que Set
T - S soient définies positives. Montrer que T et s- 1 - T- 1 sont
inversibles. Trouver l'inverse de s- 1 - r- 1 .
5. Soit ME GLn(IR). Montrer qu'il existe un unique couple (U, H) tel
que U soit orthogonale, H symétrique définie positive et M = U H.
6. Soit A et B dans Mn(IR), symétriques définies positives. Montrer
que det (A+ B) ~ det A+ det B. Même question lorsque A et B
sont seulement symétriques positives.
7. Soit E un espace euclidien et f dans L(E). Montrer que deux des
trois propriétés suivantes entraînent la troisième :
(i) ! 2 =-id,
(ii) f est une isométrie,
(iii) 'efx E E, (x, f(x)) =O.
8. Soit A et B matrices carrées d'ordre n, réelles, symétriques positives. Montrer que Sp(A + B) et Sp(AB) sont contenus dans R+.
9. Existence et unicité de la racine cubique d'une matrice symétrique
réelle.
10. Soit A matrice carrée d'ordre n réelle, symétrique positive. Montrer
qu'il existe n vecteurs v1, ... , Vn de !Rn euclidien canonique tels que
A= ((vi,v;)h~i,j~n·
11. Soit A symétrique réelle positive de taille n. Montrer que
(detA) 1 1n ~ .!_ tr A.
n
12. Soit M une matrice symétrique réelle d'ordre n, de terme général
mi,j• de valeurs propres )q, ... , Àn. (distinctes ou non). Exprimer
n
S(M) = L(>.i) 2 en fonction des mij· Montrer que M ~ S(M)
p=l
est une forme quadratique définie positive sur l'espace vectoriel des
matrices symétriques réelles.
13. Sur E euclidien de dimension p, soit V = ( v1, ... , vn) une famille
den vecteurs, on note Ç(V) la matrice des (vi, v;) (appelée matrice