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Analyse fonctionnelle
Il est clair qu'une similitude est linéaire et conserve l'orthogonalité
car avec u = h>,. o v, si (x, y) = 0, (u(x), u(y)) = >. 2 (v(x), v(y)) c'est nul
puisque l'isométrie v conserve le produit scalaire.
Réciproquement, soit u qui conserve l'orthogonalité et B = (ei ... en)
une base orthonormée de E. Si i =f j, les vecteurs ei + ej et ei - ej sont
orthogonaux, ((ei + ej,ei - ej) = lleïll 2 - llei11 2 = 1 - 1 = 0), donc
(u(ei) + u(ej), u(ei) - u(ej)) = 0 d'où llu(ei)ll = llu(ej)ll·
Posons>.= llu(ei)ll, i = 1, ... , n.
n
n
Il est clair que six= :~::::Xiei on aura u(x) = LXiu(ei) avec des
i=i
i=i
vecteurs u(ei) 2 à 2 orthogonaux, comme les ei, d'où
n
n
llu(x)ll 2 = L::xrllu(eï)ll 2 = >. 2 L::xr = >. 2 ilxll 2
i=i
i=i
On a bien llu(x)ll = >-ilxll donc u est une similitude.
•
EXERCICES
1. Soit A E Mn(IR). Montrer que At A et t AA ont mêmes valeurs
propres. Montrer qu'il existe une matrice orthogonale U telle que
tAA = u-iAtAu.
2. Soit E = 1Rn[X], ao, ... , an des nombres réels. Pour Pet Q dans E
on pose
n
cp(P, Q) = L p(k)(ak)Q(k)(ak)
k=O
a) Montrer que cp est un produit scalaire.
b) Montrer qu'il existe une base orthonormée de E, (Po, ... , Pn).
telle que Vk, d 0 Pk = k. Calculer alors P~j) ( aj ).
c) Trouver une telle base lorsque ao =ai = ... =an= O.
3. Ai, ... , Ap sont des matrices de Mn(R) vérifiant t AiAj = 0 pour
tout i =f jet Ai+ ... + Ap inversible. Montrer que la somme des
rangs des Aj est n.