Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens 259
produit d'au plus n - p - 1 symétries orthogonales. Pour avoir u = O' o v
on compose par une symétrie de plus d'où le résultat par récurrence. •
Un mot pour terminer, des rotations et des similitudes sur E euclidien.
DÉFINITION 14.90. - Sur E euclidien, on appelle rotation toute isométrie
de déterminant > 0, donc de déterminant 1.
L'examen de la forme matricielle d'une isométrie dans une base orthonormée adaptée, (Théorème 14.83), montre que les valeurs propres
possibles sont 1, -1 et ei 9 , e-i(}, (} variant dans IR.
Dans le cas d'une valeur propre complexe ei 9 , la valeur propre conjuguée e-i(} est obtenue avec la même multiplicité (polynôme caractéristique à coefficients réels) donc finalement le déterminant d'une isométrie
u est ( -1 )P si -1 est valeur propre d'ordre p de u.
En particulier (u est une rotation) {:::} (p pair), (ce qui n'est jamais le
cas pour les symétries orthogonales par rapport aux hyperplans).
REMARQUE 14.91. - Sur E euclidien de dimension impaire une rotation
admet forcément 1 pour valeur propre d'ordre impair.
Car -1 est racine d'ordre pair, les valeurs propres complexes sont
deux à deux conjuguées avec des multiplicités égales : la somme des
multiplicités de -1 et des valeurs propres complexes est paire, il reste
donc un entier impair, multiplicité de 1 comme valeur propre.
En particulier, en dimension 3 une rotation de matrice M donnée a
pour axe D la droite sous-espace propre pour la valeur propre 1, et pour
angle(} tel que 1+2 cos(}= trace M = 1 + ei 9 + e-i9.
DÉFINITION 14.92. - On appelle similitude de rapport À > 0 dans E
euclidien toute application linéaire u de E dans E telle que Vx E E on ait
liu(x)ll = Àllxll·
Si h>.-1 est l'homothétie de rapport À- 1 , v = h>.-1 ou = u o h>.-1
et donc une isométrie, d'où u = v oh>. = h>. o v : une similitude est le
produit d'une isométrie par une homothétie de rapport positif.
•
THÉORÈME 14.93. - Dans E euclidien, une application u de E dans
E est une similitude si et seulement si u est linéaire et si elle conserve
l'orthogonalité.
produit d'au plus n - p - 1 symétries orthogonales. Pour avoir u = O' o v
on compose par une symétrie de plus d'où le résultat par récurrence. •
Un mot pour terminer, des rotations et des similitudes sur E euclidien.
DÉFINITION 14.90. - Sur E euclidien, on appelle rotation toute isométrie
de déterminant > 0, donc de déterminant 1.
L'examen de la forme matricielle d'une isométrie dans une base orthonormée adaptée, (Théorème 14.83), montre que les valeurs propres
possibles sont 1, -1 et ei 9 , e-i(}, (} variant dans IR.
Dans le cas d'une valeur propre complexe ei 9 , la valeur propre conjuguée e-i(} est obtenue avec la même multiplicité (polynôme caractéristique à coefficients réels) donc finalement le déterminant d'une isométrie
u est ( -1 )P si -1 est valeur propre d'ordre p de u.
En particulier (u est une rotation) {:::} (p pair), (ce qui n'est jamais le
cas pour les symétries orthogonales par rapport aux hyperplans).
REMARQUE 14.91. - Sur E euclidien de dimension impaire une rotation
admet forcément 1 pour valeur propre d'ordre impair.
Car -1 est racine d'ordre pair, les valeurs propres complexes sont
deux à deux conjuguées avec des multiplicités égales : la somme des
multiplicités de -1 et des valeurs propres complexes est paire, il reste
donc un entier impair, multiplicité de 1 comme valeur propre.
En particulier, en dimension 3 une rotation de matrice M donnée a
pour axe D la droite sous-espace propre pour la valeur propre 1, et pour
angle(} tel que 1+2 cos(}= trace M = 1 + ei 9 + e-i9.
DÉFINITION 14.92. - On appelle similitude de rapport À > 0 dans E
euclidien toute application linéaire u de E dans E telle que Vx E E on ait
liu(x)ll = Àllxll·
Si h>.-1 est l'homothétie de rapport À- 1 , v = h>.-1 ou = u o h>.-1
et donc une isométrie, d'où u = v oh>. = h>. o v : une similitude est le
produit d'une isométrie par une homothétie de rapport positif.
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THÉORÈME 14.93. - Dans E euclidien, une application u de E dans
E est une similitude si et seulement si u est linéaire et si elle conserve
l'orthogonalité.