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Analyse fonctionnelle
Soit u une isométrie et F = { x, u( x) = x}. On prouve par récurrence
descendante que si dim F = q, u admet une décomposition comme produit
d'au plus n - q symétries orthogonales par rapport à des hyperplans, (ce
qui n'empêche pas l'existence de décompositions avec plus de symétries
orthogonales ... ).
Si dim F = n, u = id E = s 0 avec s symétrie orthogonale quelconque.
Cela ne semble pas sérieux.
Bon, soit le cas de dim F = n - 1, p1- est une droite vectorielle,
soit a un vecteur directeur unitaire de la droite p1-, comme u, isométrie,
conserve le produit scalaire on a u(a) E p1-, et u(a) unitaire==? u(a) =
±a. Si u(a) =a, on aurait a E F. C'est exclu donc u(a) = -a et u est la
symétrie orthogonale s par rapport à l'hyperplan F.
On suppose le résultat acquis si dim F ;;?.: p + 1.
Soit u une isométrie telle que dim F = p. Soit xo fi. F alors
a= xo - u(xo) # O.
Soit u la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan H = {a }1et l'isométrie v = u o u.
On a F C {a}1- car six E F, (x, a}= (x, xo - u(xo)} donc
(x, a} = (x, xo} - (x, u(xo)}.
Orx E F donc u(x) = x. On a:
(x,a} = (x,xo} - (u(x),u(xo)} = 0
puisque u conserve le produit scalaire, d'où F C {a }1-.
Mais alors les éléments de F sont invariants par u, puis par u, donc
par v.
De plus v(xo) = xo car, si on pose u(xo) = aa+b avec b E {a}1- = H
et a réel, on aura
v(xo) = u(aa + b) = -aa + b.
Mais xo =a+ u(xo) = {1 + a)a + b et llxoll 2 = llu(xo)ll 2 implique
{1+a) 2 llall 2 +2(1 + a)(a, b} + llbll 2 = a 2 llall 2 + 2a(a, b} + llbll 2
avec (a, b} = 0 et llall 2 # 0, il en résulte que 1+2a = 0, soit a= -~,
1
1
1
et alors v(xo) = 2 a + b alors que 1 +a = 2" aussi donc xo = 2 a + b.
Comme xo fi. F, le sous-espace F' des points laissés invariants par v
est de dimension ;;?.: p + 1, donc v = u o u admet une décomposition en un
Analyse fonctionnelle
Soit u une isométrie et F = { x, u( x) = x}. On prouve par récurrence
descendante que si dim F = q, u admet une décomposition comme produit
d'au plus n - q symétries orthogonales par rapport à des hyperplans, (ce
qui n'empêche pas l'existence de décompositions avec plus de symétries
orthogonales ... ).
Si dim F = n, u = id E = s 0 avec s symétrie orthogonale quelconque.
Cela ne semble pas sérieux.
Bon, soit le cas de dim F = n - 1, p1- est une droite vectorielle,
soit a un vecteur directeur unitaire de la droite p1-, comme u, isométrie,
conserve le produit scalaire on a u(a) E p1-, et u(a) unitaire==? u(a) =
±a. Si u(a) =a, on aurait a E F. C'est exclu donc u(a) = -a et u est la
symétrie orthogonale s par rapport à l'hyperplan F.
On suppose le résultat acquis si dim F ;;?.: p + 1.
Soit u une isométrie telle que dim F = p. Soit xo fi. F alors
a= xo - u(xo) # O.
Soit u la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan H = {a }1et l'isométrie v = u o u.
On a F C {a}1- car six E F, (x, a}= (x, xo - u(xo)} donc
(x, a} = (x, xo} - (x, u(xo)}.
Orx E F donc u(x) = x. On a:
(x,a} = (x,xo} - (u(x),u(xo)} = 0
puisque u conserve le produit scalaire, d'où F C {a }1-.
Mais alors les éléments de F sont invariants par u, puis par u, donc
par v.
De plus v(xo) = xo car, si on pose u(xo) = aa+b avec b E {a}1- = H
et a réel, on aura
v(xo) = u(aa + b) = -aa + b.
Mais xo =a+ u(xo) = {1 + a)a + b et llxoll 2 = llu(xo)ll 2 implique
{1+a) 2 llall 2 +2(1 + a)(a, b} + llbll 2 = a 2 llall 2 + 2a(a, b} + llbll 2
avec (a, b} = 0 et llall 2 # 0, il en résulte que 1+2a = 0, soit a= -~,
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et alors v(xo) = 2 a + b alors que 1 +a = 2" aussi donc xo = 2 a + b.
Comme xo fi. F, le sous-espace F' des points laissés invariants par v
est de dimension ;;?.: p + 1, donc v = u o u admet une décomposition en un