Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
257
Mais alors E-1 = Er et El = E:':- 1 , car x = u + v E Er si et
seulement si 'iy E El, (x, y) = O. Or c'est encore (u, y) + (v, y) = 0, soit
comme y E El et v E E_i, il reste la condition (u, y) = 0, 'iy E El. En
particulier pour y= u on a llull 2 = 0 d'où x = v E E-1· On aurait de
même El= E:':- 1 .
14.87. Mais alors l'existence de la symétrie orthogonale par rapport au
sous-espace El, (des vecteurs invariants) équivaut à l'existence d'une projection orthogonale sur El.
Comme, pour x = u+v avec u E El et v E E-1 =Er on ap(x) = u,
(p projection orthogonale sur El), on a aussi, avec q projection orthogonale
sur E-1, q(x) = v et pour la symétrie orthogonale par rapport à El :
s(x) = u -v = (u + v) - 2v = x - 2q(x)
EXEMPLE 14.88. - Dans E préhilbertien on a vu que si F est un sousespace de dimension finie on a E = F E9 pl..
En particulier, soit a un vecteur unitaire, F = !Ra, et H l'hyperplan
{a }.l, la symétrie orthogonale par rapport à H est donnée par
s(x) = x - 2(x, a)a, (puisque (x, a)a est le projeté de x sur la droite
vectorielle !Ra).
Mais attention, la donnée d'un hyperplan, même fermé, n'assure pas
l'existence d'une symétrie orthogonale par rapport à cet hyperplan (voir
la remarque 14.37).
Plus généralement soit F un sous-espace qui est l'orthogonal d'un
sous-espace G de dimension finie, la symétrie orthogonale par rapport
à F existe, et si {ai, ... , an} est une base orthonormée de G on a
n
n
:S(x) = x - 2 ~::)x, Oï)ai, toujours parce que L(x, ai) ai est le projeté
i=l
i=l
orthogonal de x sur G, et que E est somme directe de G et de G.l = F.
Dans le cas d'un espace euclidien les symétries orthogonales par
rapport à tout sous-espace existent. En particulier celles par rapport aux
hyperplans, qui ne sont donc pas directes, (-1 valeur propre simple et 1
valeur propre d'ordre n - 1 ==> det s = -1). Ces symétries par rapport
aux hyperplans sont intéressantes car on a :
THÉORÈME 14.89. - Sur E euclidien de dimension n, toute isométrie est un
produit d'au plus n symétries orthogonales par rapport à des hyperplans.
Le résultat est intéressant si n ~ 2.