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Analyse fonctionnelle
pour passez grand, les indices des termes non nuls de uP(a) seront~ ro:
on ne pourra pas écrire uP(a) = aa + f3b. ·
•
14.85. Ce même exemple va convenir pour trouver un sous-espace F de E,
avec pl. stable par u~e isométrie u - l sans être stable par u.
Inutile de chercher un sous-espace de dimension finie stable par une
isométrie u : il n'y en a pas sinon on aurait un sous-espace euclidien d'où
des valeurs propres réelles ou des plans stables.
Dans E, on fixe p E 1.. et on considère
Fp={aEE; '<:fn
(donc Fp = {a; a = ( ... 0, ... , O; ap, ap+1, ... , aq; 0, ... , O}, q quelconque supérieur à p, et ap pouvant" être nul).
On a F.f = {b; b E E; bn = O'<:/n ~ p}. Avec l'isométrie u précédente,
si b est telle que '<:/n ~ p, bn = 0, et si u- 1 (b) = c, comme Ck = bk+l• si
k ~ p, k + 1 > p => Ck = bk+l = 0 donc c E F.f.
On a bien F.f stable par u- 1 , mais pas par u car la suite d =
( ... 0 ... , 1, 0 ... 0 ... ) est dans F.f et u(d) = ( ... , O; 1, 0 ... 0 ... ) n'est
î
î
rang p-1
rang p
pas èa."'ls F.f.
•
Précisons un peu plus la nature des isométries, en considérant, parmi
elles les symétries orthogonales.
DÉFINITION 14.86. - Dans E préhilbertien réel, on appelle symétrie orthogonale toute symétrie s qui est une isométrie.
Rappelons qu'une symétrie s sur un espace vectoriel E est un endomorphisme de E vérifiant la relation s 2 = idE. Son polynôme minimal
devise donc x 2 - 1 = 0, polynôme scindé à racines simples, si 1 -:f:. -1,
soit en caractéristique différente de 2. On est ici sur IR, donc en notant
E1 = Ker (s - idE) et E_1 = Ker (s + idE) on a E = E1 E9 E-1. et en
décomposant x en u + v avec u E E1 et v E E_1 on a s(x) = u - v.
La symétrie est alors une isométrie si et seulement si, pour tout x de
Eon a lls(x)ll 2 = llxll 2 soit encore
llull 2 - 2(u, v) + llvll 2 = llull 2 + 2(u, v) + llvll 2
ce qui équivaut à: '<:/(u, v) E E1 x E-1. (u, v) =O.
Analyse fonctionnelle
pour passez grand, les indices des termes non nuls de uP(a) seront~ ro:
on ne pourra pas écrire uP(a) = aa + f3b. ·
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14.85. Ce même exemple va convenir pour trouver un sous-espace F de E,
avec pl. stable par u~e isométrie u - l sans être stable par u.
Inutile de chercher un sous-espace de dimension finie stable par une
isométrie u : il n'y en a pas sinon on aurait un sous-espace euclidien d'où
des valeurs propres réelles ou des plans stables.
Dans E, on fixe p E 1.. et on considère
Fp={aEE; '<:fn
On a F.f = {b; b E E; bn = O'<:/n ~ p}. Avec l'isométrie u précédente,
si b est telle que '<:/n ~ p, bn = 0, et si u- 1 (b) = c, comme Ck = bk+l• si
k ~ p, k + 1 > p => Ck = bk+l = 0 donc c E F.f.
On a bien F.f stable par u- 1 , mais pas par u car la suite d =
( ... 0 ... , 1, 0 ... 0 ... ) est dans F.f et u(d) = ( ... , O; 1, 0 ... 0 ... ) n'est
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rang p-1
rang p
pas èa."'ls F.f.
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Précisons un peu plus la nature des isométries, en considérant, parmi
elles les symétries orthogonales.
DÉFINITION 14.86. - Dans E préhilbertien réel, on appelle symétrie orthogonale toute symétrie s qui est une isométrie.
Rappelons qu'une symétrie s sur un espace vectoriel E est un endomorphisme de E vérifiant la relation s 2 = idE. Son polynôme minimal
devise donc x 2 - 1 = 0, polynôme scindé à racines simples, si 1 -:f:. -1,
soit en caractéristique différente de 2. On est ici sur IR, donc en notant
E1 = Ker (s - idE) et E_1 = Ker (s + idE) on a E = E1 E9 E-1. et en
décomposant x en u + v avec u E E1 et v E E_1 on a s(x) = u - v.
La symétrie est alors une isométrie si et seulement si, pour tout x de
Eon a lls(x)ll 2 = llxll 2 soit encore
llull 2 - 2(u, v) + llvll 2 = llull 2 + 2(u, v) + llvll 2
ce qui équivaut à: '<:/(u, v) E E1 x E-1. (u, v) =O.