Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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fini d'opérations, E = E1 EBE-1 EB ($Pi) les Pi étant des plans stables
i=l
paru, les sous-espaces Ei. E-1 et les Pi étant orthogonaux entre eux.
En réunissant des bases orthonormées de ces sous-espaces, on obtient le
résultat voulu.
•
A deux reprises dans cette justification on a utilisé le fait que E,
euclidien, est de dimension finie. D'une part, pour obtenir des plans stables
pour l'isométrie sans valeur propre réelle, d'autre part pour dire que p1étant stable par u- 1 , il l'est paru. Qu'en est-il en dimension infinie? Eh
bien, ces résultats sont faux.
14.84. Ezemple d'espace préhilbertien réel et d'isométrie sans valeurl
propre réelle et sans plan stable
Il nous faut un espace de dimension infinie. Il contiendra donc au
moins un espace de dimension dénombrable stricte, donc il y aura une
famille orthonormée (en)nEN• (orthonormalisation de Schmidt). Si on
décale les en d'un cran, (en ---+ en+ 1) on conserve la norme mais ce
n'est pas surjectif. Aussi va-t'on indexer par l pour conserver le caractère
bijectif.
Soit E ={suites (an)nez; an réels presque tous nuls}.
On pose (a, b) = L anbn, la somme étant finie en fait.
nEZ
On a un espace préhilbertien réel, (vérification rapide laissée à l'amateur).
Soit u : E i---+ E défini par a = (an)nEZ ---+ b = (bk)kez avec
bk = ak-1• 'Vk El. On a visiblement llu(a)ll = llall donc u conserve la
norme, et u est bijective, u- 1 (a) = c avec Cn = an+l• 'Vn El.
Uisométrie u n'a pas de valeurs propres réelles : s'il existe >. E ~ et
a non nul dans E, tels que u(a) = >.a, avec no E l tel que an 0 =! 0 et,
'Vk.a
il vient 0 = >.an 0 d'où >. = 0, mais alors le terme d'indice no+ 1 donnerait
an 0 = 0, absurde.
Il n'existe pas de plan stable par u : supposons que a et b soient
indépendants dans E et tels que F = Vect (a, b) soit stable paru.
Il existe ro dans l tel que 'Vn ~ ro, an = bn = 0, (suites de termes
presque tous nuls).
Pour tout entier p on devrait avoir uP(a) E F, or uP(a) est la suite
déduite de a en augmentant les indices des termes non nuls de p, donc,
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fini d'opérations, E = E1 EBE-1 EB ($Pi) les Pi étant des plans stables
i=l
paru, les sous-espaces Ei. E-1 et les Pi étant orthogonaux entre eux.
En réunissant des bases orthonormées de ces sous-espaces, on obtient le
résultat voulu.
•
A deux reprises dans cette justification on a utilisé le fait que E,
euclidien, est de dimension finie. D'une part, pour obtenir des plans stables
pour l'isométrie sans valeur propre réelle, d'autre part pour dire que p1étant stable par u- 1 , il l'est paru. Qu'en est-il en dimension infinie? Eh
bien, ces résultats sont faux.
14.84. Ezemple d'espace préhilbertien réel et d'isométrie sans valeurl
propre réelle et sans plan stable
Il nous faut un espace de dimension infinie. Il contiendra donc au
moins un espace de dimension dénombrable stricte, donc il y aura une
famille orthonormée (en)nEN• (orthonormalisation de Schmidt). Si on
décale les en d'un cran, (en ---+ en+ 1) on conserve la norme mais ce
n'est pas surjectif. Aussi va-t'on indexer par l pour conserver le caractère
bijectif.
Soit E ={suites (an)nez; an réels presque tous nuls}.
On pose (a, b) = L anbn, la somme étant finie en fait.
nEZ
On a un espace préhilbertien réel, (vérification rapide laissée à l'amateur).
Soit u : E i---+ E défini par a = (an)nEZ ---+ b = (bk)kez avec
bk = ak-1• 'Vk El. On a visiblement llu(a)ll = llall donc u conserve la
norme, et u est bijective, u- 1 (a) = c avec Cn = an+l• 'Vn El.
Uisométrie u n'a pas de valeurs propres réelles : s'il existe >. E ~ et
a non nul dans E, tels que u(a) = >.a, avec no E l tel que an 0 =! 0 et,
'Vk
il vient 0 = >.an 0 d'où >. = 0, mais alors le terme d'indice no+ 1 donnerait
an 0 = 0, absurde.
Il n'existe pas de plan stable par u : supposons que a et b soient
indépendants dans E et tels que F = Vect (a, b) soit stable paru.
Il existe ro dans l tel que 'Vn ~ ro, an = bn = 0, (suites de termes
presque tous nuls).
Pour tout entier p on devrait avoir uP(a) E F, or uP(a) est la suite
déduite de a en augmentant les indices des termes non nuls de p, donc,