254
Analyse fonctionnelle
THÉORÈME 14.83. - Soit u une isométrie de E euclidien. Il existe des bases
T3 orthonormées de E dans lesquelles la matrice de u est du type
1
1
-1
0
U=
0
-l (cos(} -sin(})
sin (}
cos (} (
( )
On sait, (Théorème 14. 79), que les seules valeurs propres réelles
possibles sont 1 et -1.
Soit donc E1 =Ker (u - idE) et E-1 =Ker (u + idE), sous-espaces
éventuellement réduits à {O}. Ces sous-espaces sont orthogonaux entre
eux car six E E1 et y E E-1 on a
(x,y} = (u(x),u(y)} (u isométrie)
= (x, -y} d'où 2(x, y} = O.
Soit F = E1 EB E_1, il est stable par u, donc FJ_ est stable par u*,
avec u* = u- 1 , (Théorèmes 14.64 et 14.78).
Mais u- 1 (FJ_) C FJ_, avec FJ_ et u- 1 (FJ_) de même dimension (u- 1
injective) finie, (E euclidien) implique u- 1 (FJ_) = FJ_, et si on compose
par u, bijective, on en déduit que u( FJ_) = FJ_ : FJ_ est stable par u.
Si F =FE, (c'est-à-dire si FJ_ =F {0}) soit v induit paru sur FJ_, c'est
une isométrie de FJ_, sans valeur propre réelle car le moindre soupçon de
vecteur propre pour v, donc pour u, serait dans E1 ou E-1 donc dans F,
mais étant au départ dans FJ_, il serait nul.
Mais alors, (Théorème 14.80), il existe P1 plan de FJ_, stable par v,
et l'isométrie v1 induite par v sur P1 étant sans valeur propre réelle, il
existe une base orthonormée T31 de P1 dans laquelle la matrice de v1 est
( cos 91 -sin 91 ) ,
. a
a
, d après le Théorème 14.82.
Slil Ill
COS Ill
Si P1 = FJ_, on arrê~, sinon on itère le procédé à partir de Fi =
E1 EBE-1 EBP1 =FE, de Ff stable paru*= u- 1 ... d'où un plan P2 stable
par u ... Comme on est en dimension finie, on obtient au bout d'un nombre