Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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La relation Jlu(x)ll 2 = llxll 2 = 1 donne a 2 + c2 = 1 et llu(y)ll 2 =
llYll 2 = 1 donne b 2 + d 2 = 1.
Il existe donc a et /3 réels tels que a = cos a, c = sin a et b = cos /3,
d = sin/3.
On a aussi (u(x), u(y)} = (x, y} = 0 d'où l'égalité ab+ cd = 0, soit
encore
cos a cos/3 +sin a sin/3 =cos (/3 - a)= 0,
7r
donc /3 - a = 2" + k7r.
7r
Si k est pair, k = 2p, /3 = a+ 2" + 2p7r, on a alors b = -sin a et
d = cos a, et la matnce de u est U =
.
dans la base
.
(cosa -sina)
sma
cos a
orthonormée { x, y}. On constate que det U = 1 : u est directe.
Si k est impair alors b = sin a et d = -cos a, la matrice est
U
( cosa
sina) d d
.
1 (
. di
)
=
.
e étenmnant - , u est m recte .
sma -cosa
Mais dans ce cas là, le polynôme caractéristique est
Xu(À) = (cosa -À)(-cosa -À) - sin 2 a = ). 2 -1.
Il est scindé avec 1 et -1 pour valeurs propres, on est en dimension 2, il
existe donc une base de vecteurs propres { ei, e2} dans laquelle la matrice
est(~ -~).
On peut prendre ei et e2 unitaires, (ils sont définis à un facteur
multiplicatif près) et comme
(u(e1),u(e2)} = (e1,e2} car u isométrie
= (ei, -e2}, (vecteurs propres)
c'est que 2(u(e1), u(e2)} = 0 d'où en fait (e1, e2} = 0: on a bien une base
orthonormée dans laquelle la matrice de u est ( ~ _ ~) .
•
Nous sommes à même de justifier le théorème de décomposition des
isométries sur E euclidien.