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Analyse fonctionnelle
On prend l'image paru donc Àu(x) = u 2 (x) + x d'où
u 2 (x) = -x + Àu(x) E F = Vect (x, u(x))
Comme u(x) E F ainsi que u(u(x)), c'est que F est stable par u.
C'est un plan, sinon u(x) serait colinéaire à x et u aurait alors une valeur
propre réelle, ce qui est écarté.
•
On a utilisé le fait que u est une isométrie. Mais cette hypothèse est
inutile. Plus généralement on a :
THÉORÈME 14.81. - Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie,
u un endomorphisme de E n'ayant pas de valeur propre réelle. Al,ors E
adme.t au moins un sous-espace stable de dimension 2.
Soit B une base fixée de E et U la matrice de u dans cette base.
Si À est une racine, complexe non réelle, du polynôme caractéristique
de u, il existe une matrice colonne complexe d'ordre n, Z, non nulle, telle
que UZ = ÀZ.
Posons À = œ + i(3 avec (3 =fa 0 et Z = X + iY, X et Y matrices
colonnes réelles.
Ona
UX + iUY = (œ + i(3)(X + iY) = œX - (3Y + i((3X + œY)
d'où UX = œX - (3Y et UY = (3X + œY.
De plus X= œ-i(3 est aussi valeur propre de u, avec Z =X -iY pour
matrice colonne vecteur propre, (on conjugue U Z = ÀZ). Comme À =fa X
(car (3 =fa 0), Z et Z sont indépendants sur C. La matrice de passage de
la famille {X, Y} à {Z, Z} est ( ~ ~),régulière, (déterminant -2i),
i
- i
donc les vecteurs colonnes X et Y considérés dans en, sont indépendants
sur C, donc a fortiori sur IR.
Mais alors F = Vect (X, Y) est un plan de Estable paru.
•
THÉORÈME 14.82. - Soit P un plan et u une isométrie de P. Il existe
une base orthonormée de P dans laquelle la matrice de P est soit du type
( cos(} -sin(}) .
d"
. d
( 1 0)
sin (} cos (}
si u est irecte, soit u type 0 _ 1 .
Soit { x, y} une base orthonormée de P, et U =
la matrice
( ac db)
de u dans cette base.