Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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Sur E euclidien, donc de dimension finie, l'existence de l'adjoint est
un droit pour u, il reste donc (u isométrie)# (u* = u- 1 ).
Si u est une isométrie, u est linéaire bijective de E dans E et V(x, y)
de E 2 , (u(x),u(y)) = (x,y) car la conservation de la forme quadratique
11 11 2 implique celle de sa forme polaire, ici le produit scalaire.
En posant u(y) = z, ou encore y= u- 1 (z), on a z qui décrit E lorsque
y varie dans E et finalement
V(x,z) E E 2 , (u(x),z) = (x,u- 1 (z))
ce qui prouve que u admet un adjoint, qui n'est autre que u- 1 , (Théorème
14.63).
Réciproquement si on suppose que u admet u- 1 pour adjoint, on a déjà
u linéaire bijectif et
V(x,y) E E 2 , (u(x),y) = (x,u- 1 (y))
donc avec z = u- 1 (y) qui décrit E quand y varie, on a cette fois
V(x,z) E E 2 , (u(x),u(z)) = (x,z)
u conserve le produit scalaire, donc la norme. C'est une isométrie.
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THÉORÈME 14. 79. - Les seules valeurs propres réelles possibles d'une
isométrie sont 1 et -1.
Car si À est valeur propre réelle d'une isométrie u, et si x est un
vecteur propre associé non nul, on a llu(x)l-1=11..Xxll = l..XI llxll·
Or la norme étant conservée, c'est aussi llxll. d'où (1 - l..Xl)llxll = 0
avec x # O. On a l..XI = 1 donc À = ±1 dans IR.
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Le problème c'est qu'une isométrie peut fort bien ne pas avoir de valeur
propre réelle! C'est le cas des rotations du plan, d'angle non nul modulo
7r. Mais on a, en dimension finie :
THÉORÈME 14.80. - Soit u une isométrie de E euclidien, sans valeur propre
réelle, elle admet des sous-espaces stables de dimension 2.
En effet v = u + u* est auto-adjoint car u** = u. On est en dimension
finie donc v auto-adjoint à toutes ses valeurs propres réelles (Théorème
14.68). Soit À une valeur propre réelle de v et x un vecteur propre non
nul associé. On a v(x) = u(x) + u- 1 (x) = Àx.