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Analyse fonctionnelle
14.76. Rappelons que le rayon spectral d'une matrice carrée B de Mn(R)
(ou de Mn(C)) est la borne supérieure de l'ensemble des modules des
valeurs propres, dans C, de B.
Il s'agit d'évaluer lllulll = sup{llu(x)ll; llxll = l}. Les espaces
préhilbertiens, c'est le domaine du carré des normes.
On a llu(x)ll 2 = (u(x), u(x)) = (x, u*u(x)) par définition de l'adjoint.
Or u*u est un opérateur auto-adjoint ((u*u)* = u*u** = u*u), donc
diagonalisable dans le groupe orthogonal.
Soit B = (ei, ... , en) une base orthonormée de vecteurs propres pour
u*u, pour les valeurs propres .>.1, ... , Àn.
D'abord les Àï sont~ 0 car (ei,u*u(ei)) = (ei,Àiei) = Àïlleïll 2 avec
ei unitaire. Mais c'est aussi (u(ei),u(ei)) = llu(eï)ll 2 d'où Ài =
llu(eï)ll 2 ~O.
n
Puis, six= LXiei est de norme 1, on a
i=l
n
n
llu(x)ll 2 = (x,u*u(x)) = (Lxiei•Lxiu*u(ei))
j=l
i=l
avec u*u(ei) = Àiei. Comme la base Best orthonormée, on a:
n
n
llu(x)ll 2 = L>.ixr ~ p(u*u) L:xr = p(u*u)
i=l
i=l
d'où sup{llu(x)ll 2 ; llxll = 1} ~ p(u*u).
Or le rayon spectral, p(u*u) est atteint pour l'indice io, on a llu(eï 0 )11 2
= Àio = p(u*u) donc en fait la borne supérieure de {llu(x)ll 2 , llxll = 1}
est bien p(u*u) et lllulll = (p(u*u)) 1 1 2 .
•
Voyons maintenant ce que l'on peut dire sur les isométries.
6. Isométries
DÉFINITION 14.77. - Sur E préhilbertien réel, on appelle isométrie, tout
automorphisme u qui conserve la norme.
THÉORÈME 14. 78. - Une application linéaire u de E dans E, E préhilbertien réel, est une isométrie si et seulement si u admet un adjoint u* avec
u* = u- 1 .