Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
249
En-1 = Vect {ei, ... , en-Ü qui est donc définie positive, vu l'hypothèse
de récurrence.
Soit E~-l le conjugué, pour
Or, c'est encore tPn-1 ( x), avec
n + dim (En-1 n E 0 ) d'après le Théorème 11.35 du tome 1, Algèbre, donc
dimEn-1 + dimE~-l ~ n, avec dimEn-1 = n - 1 d'où dimE~-l ~ 1
et vu l'intersection En-1 n E~-l = { 0}, les 2 sous-espaces sont en somme
directe, donc dim E~-l ~ 1). On a en outre E = En-1 $ E~_ 1.
Si E~_ 1 = !Ra, et si Bn-1 est une base de En-1 • dans la base
Bn-1 U {a} de E la matrice de avec On-1 matrice carrée d'ordre n - 1 de (a) E IR.
Avec P matrice de passage, on a n = t P AP donc det n =
(detA)(detP) 2 d'où detn > 0, soit (detOn-1)>. > 0 et comme est définie positive, on a det (On-1) > 0 d'où>. >O.
Finalement, avec x = Xn-1 +~a, (xn-1 E En-1) on a tj>(x)
On a bien la réciproque.
•
COROLLAIRE 14.74. - s+ = {matrices carrées symétriques définies positives d'ordre n} est un ouvert de S = {matrices carrées symétriques d'ordre
n}.
Car chaque application (}k: A~ det (Ak), (k = 1, ... , n, avec les Ak
n
mineurs fondamentaux de A) est continue et s+ = n o;; 1 (]0, +oo[) est
k=l
alors un ouvert de S.
•
Un autre résultat amusant concerne la norme d'application linéaire
associée à une application linéaire, dans le cadre euclidien.
THÉORÈME 14. 75. - Soit E un espace euclidien et u E Hom (E). La norme
d'application linéaire continue, 11l ul 11 est égale à la racine carrée du rayon
spectral de u*u.
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En-1 = Vect {ei, ... , en-Ü qui est donc définie positive, vu l'hypothèse
de récurrence.
Soit E~-l le conjugué, pour
n + dim (En-1 n E 0 ) d'après le Théorème 11.35 du tome 1, Algèbre, donc
dimEn-1 + dimE~-l ~ n, avec dimEn-1 = n - 1 d'où dimE~-l ~ 1
et vu l'intersection En-1 n E~-l = { 0}, les 2 sous-espaces sont en somme
directe, donc dim E~-l ~ 1). On a en outre E = En-1 $ E~_ 1.
Si E~_ 1 = !Ra, et si Bn-1 est une base de En-1 • dans la base
Bn-1 U {a} de E la matrice de avec On-1 matrice carrée d'ordre n - 1 de (a) E IR.
Avec P matrice de passage, on a n = t P AP donc det n =
(detA)(detP) 2 d'où detn > 0, soit (detOn-1)>. > 0 et comme est définie positive, on a det (On-1) > 0 d'où>. >O.
Finalement, avec x = Xn-1 +~a, (xn-1 E En-1) on a tj>(x)
On a bien la réciproque.
•
COROLLAIRE 14.74. - s+ = {matrices carrées symétriques définies positives d'ordre n} est un ouvert de S = {matrices carrées symétriques d'ordre
n}.
Car chaque application (}k: A~ det (Ak), (k = 1, ... , n, avec les Ak
n
mineurs fondamentaux de A) est continue et s+ = n o;; 1 (]0, +oo[) est
k=l
alors un ouvert de S.
•
Un autre résultat amusant concerne la norme d'application linéaire
associée à une application linéaire, dans le cadre euclidien.
THÉORÈME 14. 75. - Soit E un espace euclidien et u E Hom (E). La norme
d'application linéaire continue, 11l ul 11 est égale à la racine carrée du rayon
spectral de u*u.