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Analyse fonctionnelle
COROLLAIRE 14. 72. - Soient A et B deux matrices symétriques réelles, A
étant définie positive. Il existe P matrice régulière telle que t P AP = In et
t P BP = diag (.Xi, ... , Àn)·
On se place sur !Rn rapporté à une base Bo, on considère la structure
euclidienne associée à la forme 'PO de matrice A dans Bo, la forme cp de
matrice B dans la base Bo et on applique ce qui précède, avec P matrice
de passage de Bo à B, orthonormée pour 'PO et conjuguée pour cp.
•
Attention, il s'agit d'une réduction simultanée de deux formes ~uadratiques, pas d'une diagonalisation, d'ailleurs si t P = p-l et si p- AP =
In c'est que A= Pinp-l =In en fait.
Il peut être intéressant de caractériser les matrices symétriques associées à des formes définies positives, ou plus brièvement des matrices
définies positives. On a
THÉORÈME 14.73. - Sur E ~ Rn, une base est définie positive si et seulement si les n mineurs fondamentaux
de A sont strictements positifs.
Si A = ( O!ïj) 1 ~ i ~ , on appelle mineurs fondamentaux les n détermi~; -.;;:::n
nants des matrices Ak = (aijh"'i,j"'ko pour k = 1, ... , n.
Soit B = {e1, ... , en} une base fixée de E.
Si Vect (ei, ... , ek) et
Si
Réciproquement. On procède par récurrence sur .n.
Si n = 1, A = (a) avec a > 0, alors positive sur IR.
On suppose le résultat acquis si dim E = n - 1.
Soit E de dimension n, et A une matrice symétrique ayant tout ses
mineurs fondamentaux > 0, a fortiori les mineurs fondamentaux de An-1
le sont.
En prenant encore B = (ei, ... , en) une base de E et quadratique de matrice A dans la base B, on a avec
En-1
Analyse fonctionnelle
COROLLAIRE 14. 72. - Soient A et B deux matrices symétriques réelles, A
étant définie positive. Il existe P matrice régulière telle que t P AP = In et
t P BP = diag (.Xi, ... , Àn)·
On se place sur !Rn rapporté à une base Bo, on considère la structure
euclidienne associée à la forme 'PO de matrice A dans Bo, la forme cp de
matrice B dans la base Bo et on applique ce qui précède, avec P matrice
de passage de Bo à B, orthonormée pour 'PO et conjuguée pour cp.
•
Attention, il s'agit d'une réduction simultanée de deux formes ~uadratiques, pas d'une diagonalisation, d'ailleurs si t P = p-l et si p- AP =
In c'est que A= Pinp-l =In en fait.
Il peut être intéressant de caractériser les matrices symétriques associées à des formes définies positives, ou plus brièvement des matrices
définies positives. On a
THÉORÈME 14.73. - Sur E ~ Rn, une base est définie positive si et seulement si les n mineurs fondamentaux
de A sont strictements positifs.
Si A = ( O!ïj) 1 ~ i ~ , on appelle mineurs fondamentaux les n détermi~; -.;;:::n
nants des matrices Ak = (aijh"'i,j"'ko pour k = 1, ... , n.
Soit B = {e1, ... , en} une base fixée de E.
Si Vect (ei, ... , ek) et
Si
Réciproquement. On procède par récurrence sur .n.
Si n = 1, A = (a) avec a > 0, alors positive sur IR.
On suppose le résultat acquis si dim E = n - 1.
Soit E de dimension n, et A une matrice symétrique ayant tout ses
mineurs fondamentaux > 0, a fortiori les mineurs fondamentaux de An-1
le sont.
En prenant encore B = (ei, ... , en) une base de E et quadratique de matrice A dans la base B, on a avec
En-1