Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
247
THÉORÈME 14. 71. - Soient cpo et cp deux formes bilinéaires symétriques
sur E ~!Rn. On suppose cpo définie positive . .Afars il existe des bases de E
orthonormées pour cpo et conjuguées pour cp.
Sur E =!Rn on met la structure euclidienne de produit scalaire noté désormais ( , ) .
On définit u E Hom ( E) par l'identité :
'V(x,y) E E 2 , (x,u(y)) = cp(x,y)
soit avec 8 et Ôcp applications de E dans E* associée aux formes bilinéaires
cp et cpo (voir Algèbre 11.2), par la relation :
ô(u(y))(x) = ôcp(y)(x).
Pour y fixé, cette égalité valable pour tout x signifie que les formes
linéaires ô(u(y)) et ôcp(Y) sont égales, donc, 8 étant un isomorphisme de
E sur son dual, que u(y) = 8- 1 o ôcp(y), ce qui justifie l'existence de u et
son caractère linéaire.
Cet opérateur u est autoadjoint car, 'V(x, y) E E 2 on a
(x, u(y)) = cp(x, y)= cp(y, x), (cp étant symétrique)
= (y, u(x)), (définition de u), donc c'est aussi
= (u(x), y), donc u* = u.
Mais alors, il existe une base orthonormée B = { e1, ... , ên} de
vecteurs propres pour u. Si Ài, ... , Àn sont les valeurs propres associées,
n
n
avec x = L Xiêi et y = L Yiêi on aura
i=l
i=l
n
n
cp(x,y) = (x,u(y)) = (LXiêi, LÀJYjêj)
i=l
j=l
n
= LÀiXiYi·
i=l
La matrice de cp dans la base B est diag ( ÀI, ... , Àn), alors que celle de
cpo est In. (base orthonormée): on a bien une base B conjuguée pour cp et
orthonormée pour cpo.
•