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Analyse fonctionnelle
Supposons P =f:. E, alors pl. =f:. {O}, (il est de dimension n - dim P),
et si v est l'endomorphisme induit paru sur pl., on a, 'v'(x,y) E (PJ.) 2 ,
(v(x), y) = (x, v(y)) puisqu'en fait c'est (u(x), y) = (x, u(y)) et que u est
auto-adjoint.
Mais alors v admet encore des valeurs propres réelles (Théorème
14.67), qui sont des valeurs propres de u, donc des >.'i, et avec x vecteur
propre associé non nul, on aurait x E pl. mais aussi x E Pj C P donc
X E p n pl. = {O}, bizarre!
k
C'est donc que P = E = E9 Pj : l'endomorphisme u est diagonalj=l
isable. Enfin, dans chaque Pj, sous-espace de dimension finie, on peut
k
choisir une base Bj orthonormée, alors B = LJ Bj est une base orj=l
thonormée de vecteurs propres pour u.
•
COROLLAIRE 14.69. - Une matrice symétrique réelle est diagonalisable
dans le groupe orthogonal.
C'est-à-dire : si t A = A, A E Mn(IR), il existe P E On(R) telle que
p-1 AP = t P AP soit diagonale.
En effet soit A E Mn(R), symétrique. On introduit !Rn euclidien
canonique, Bo la base canonique, orthonormée et u l'endomorphisme de
matrice A dans la base Bo. Cet endomorphisme est auto-adjoint donc il
existe une base B orthonormée de vecteurs propres. Si P est la matrice de
passage de Bo à Belle est orthogonale, (remarque 14.49), et p-l AP =
t P AP est diagonale.
COROLLAIRE 14.70. - (du corollaire 14.69 en fait). Soit A une matrice
carrée réelle symétrique. La signature de la forme quadratique ayant A
pour matrice dans une base donnée de E = !Rn est le couple (p, q) avec
p (resp q) nombre de valeurs propres > 0 (resp < 0) comptées avec leur
multiplicité.
En effet, remplacer A par A' = t P AP c'est changer de base pour
une forme quadratique. Si donc P est une matrice de diagonalisation
orthogonale, de A, on décompose la forme quadratique en carrés. Il
suffit de considérer le spectre de A pour avoir les coefficients d'une
décomposition en carrés particulière.
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Analyse fonctionnelle
Supposons P =f:. E, alors pl. =f:. {O}, (il est de dimension n - dim P),
et si v est l'endomorphisme induit paru sur pl., on a, 'v'(x,y) E (PJ.) 2 ,
(v(x), y) = (x, v(y)) puisqu'en fait c'est (u(x), y) = (x, u(y)) et que u est
auto-adjoint.
Mais alors v admet encore des valeurs propres réelles (Théorème
14.67), qui sont des valeurs propres de u, donc des >.'i, et avec x vecteur
propre associé non nul, on aurait x E pl. mais aussi x E Pj C P donc
X E p n pl. = {O}, bizarre!
k
C'est donc que P = E = E9 Pj : l'endomorphisme u est diagonalj=l
isable. Enfin, dans chaque Pj, sous-espace de dimension finie, on peut
k
choisir une base Bj orthonormée, alors B = LJ Bj est une base orj=l
thonormée de vecteurs propres pour u.
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COROLLAIRE 14.69. - Une matrice symétrique réelle est diagonalisable
dans le groupe orthogonal.
C'est-à-dire : si t A = A, A E Mn(IR), il existe P E On(R) telle que
p-1 AP = t P AP soit diagonale.
En effet soit A E Mn(R), symétrique. On introduit !Rn euclidien
canonique, Bo la base canonique, orthonormée et u l'endomorphisme de
matrice A dans la base Bo. Cet endomorphisme est auto-adjoint donc il
existe une base B orthonormée de vecteurs propres. Si P est la matrice de
passage de Bo à Belle est orthogonale, (remarque 14.49), et p-l AP =
t P AP est diagonale.
COROLLAIRE 14.70. - (du corollaire 14.69 en fait). Soit A une matrice
carrée réelle symétrique. La signature de la forme quadratique ayant A
pour matrice dans une base donnée de E = !Rn est le couple (p, q) avec
p (resp q) nombre de valeurs propres > 0 (resp < 0) comptées avec leur
multiplicité.
En effet, remplacer A par A' = t P AP c'est changer de base pour
une forme quadratique. Si donc P est une matrice de diagonalisation
orthogonale, de A, on décompose la forme quadratique en carrés. Il
suffit de considérer le spectre de A pour avoir les coefficients d'une
décomposition en carrés particulière.
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