Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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Or
n
tzAz = tz(ÀZ) =-XL:: zkzk
k=l
et
n
t ZAZ = t Z(ÀZ) = À L ZkZk·
k=l
Finalement (À - À) (t lzkl 2 ) = 0, comme Z "!- 0, t lzkl 2 > 0:
k=l
k=l
on en déduit que À = À est bien réel.
•
THÉORÈME 14.68. - Soit u auto-adjoint sur E euclidien. Les valeurs propres de u sont réelles. Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux entre eux. Il existe une base orthonormée
de vecteurs propres pour u.
La matrice de -µ dans une base orthonormée de E étant symétrique,
ses valeurs propres sont réelles, comme on vient de le justifier.
Soient À1 et À2 deux valeurs propres distinctes de u et x1 et x2 deux
vecteurs propres non nuls associés.
Ona
À1 (xi, x2) = (À1xi, x2) = (u(x1), x2)
= (x1,u*(x2)) = (xi,u(x2)), (u symétrique),
= (x1, À2x2) = À2(x1, x2)
donc (À1 - À2) (xi, x2) = O.
Comme À1 - À2 "!- 0 c'est que (x1, x2) = 0 : des sous-espaces propres
associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux entre eux.
Soit alors À1, ... , Àk toutes les valeurs propres distinctes de u,
k
F1, ... , Fk les sous-espaces propres associés, et F = E9 Fj.
j=l
Chaque Fj étant stable par u, F est stable par u donc FJ_ est stable
par u* = u, (Théorème 14.64).