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Analyse fonctionnelle
THÉORÈME 14.64. - Soit E préhilbertien réel et u E Hom (E) ayant un
adjoint u*. Si F est sous-espace de E stable par u, alors p1- est stable par
u*.
Bien sûr, si E est euclidien, u E Hom ( E) admet un adjoint.
Soit en effet x dans p1-, on veut prouver que u* ( x) E p1-, soit encore
que Vz de F, (z, u*(x)) =O.
Or (z, u*(x)) = (u(z), x) avec z E F, stable paru, donc u(z) E F et
x E p1- : on a bien (u(z), x) = 0 d'où le résultat.
•
Ne trouvez-vous pas agréable ce mouvement de bascule entre u et
u* ? C'est du Fragonard! « Poussez, poussez, l'escarpolette ». Passons aux
choses sérieuses concernant deux types d'opérateurs, les auto-adjoints et
les isométries.
DÉFINITION 14.65. - Un opérateur u de E préhilbertien réel est dit
symétrique ou auto-adjoint si et seulement si il admet u pour adjoint.
REMARQUE 14.66. - Pour E euclidien, u est auto-adjoint si et seulement
si sa matrice dans une base orthonormée est symétrique, (donc égale à sa
transposée). Voir le 7° du Théorème 14.60.
La propriété fondamentale des opérateurs auto-adjoints sur E euclidien est d'admettre des bases orthonormées de vecteurs propres.
Pour établir ce résultat, on justifie d'abord :
THÉORÈME 14.67. - Soit A une matrice carrée d'ordre n sur IR, symétrique.
Ses valeurs propres sont réelles.
Soit XA le polynôme caractéristique de A, considéré comme à coefficients oomplexo•, >. une racine de XA et Z ~ ( l) un vecteur propro,
(dans en) associé, non nul.
On a AZ = ÀZ, d'où en conjuguant, AZ = ÀZ = AZ puisque A est
à coefficients réels.
Si on calcule le produit matriciel t ZAZ, c'est une matrice (1,1), donc
un scalaire, égal à son transposé, t zt AZ, d'où comme A est symétrique,
l'égalité
tzAz=tZAZ
Analyse fonctionnelle
THÉORÈME 14.64. - Soit E préhilbertien réel et u E Hom (E) ayant un
adjoint u*. Si F est sous-espace de E stable par u, alors p1- est stable par
u*.
Bien sûr, si E est euclidien, u E Hom ( E) admet un adjoint.
Soit en effet x dans p1-, on veut prouver que u* ( x) E p1-, soit encore
que Vz de F, (z, u*(x)) =O.
Or (z, u*(x)) = (u(z), x) avec z E F, stable paru, donc u(z) E F et
x E p1- : on a bien (u(z), x) = 0 d'où le résultat.
•
Ne trouvez-vous pas agréable ce mouvement de bascule entre u et
u* ? C'est du Fragonard! « Poussez, poussez, l'escarpolette ». Passons aux
choses sérieuses concernant deux types d'opérateurs, les auto-adjoints et
les isométries.
DÉFINITION 14.65. - Un opérateur u de E préhilbertien réel est dit
symétrique ou auto-adjoint si et seulement si il admet u pour adjoint.
REMARQUE 14.66. - Pour E euclidien, u est auto-adjoint si et seulement
si sa matrice dans une base orthonormée est symétrique, (donc égale à sa
transposée). Voir le 7° du Théorème 14.60.
La propriété fondamentale des opérateurs auto-adjoints sur E euclidien est d'admettre des bases orthonormées de vecteurs propres.
Pour établir ce résultat, on justifie d'abord :
THÉORÈME 14.67. - Soit A une matrice carrée d'ordre n sur IR, symétrique.
Ses valeurs propres sont réelles.
Soit XA le polynôme caractéristique de A, considéré comme à coefficients oomplexo•, >. une racine de XA et Z ~ ( l) un vecteur propro,
(dans en) associé, non nul.
On a AZ = ÀZ, d'où en conjuguant, AZ = ÀZ = AZ puisque A est
à coefficients réels.
Si on calcule le produit matriciel t ZAZ, c'est une matrice (1,1), donc
un scalaire, égal à son transposé, t zt AZ, d'où comme A est symétrique,
l'égalité
tzAz=tZAZ