Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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Donc (Imu) C (Keru*)..l.
Or si u est de range p, u* est aussi de rang p, les matrices de u et de u*
dans une base orthonormée B étant de même rang vu le 7) du Théorème
14.60.
Donc Keru* est de dimension n - p et (Keru*)..l de dimension
n - (n - p) =p. Les sous-espaces (Imu) et (Keru*)..l étant de même
dimension sont alors égaux.
De même Keru et (Imu*)..l sont tous deux de dimension n - pet
Keru C (Imu*)..l car six E Keru et y= u*(z) E Imu* on a
(x, y) = (x, u*(z)) = (u(x), z) = (0, z) = 0
D'où l'égalité Ker u = lm ( u*)..L.
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Comme u** = u, (pauvres généraux!), en remplaçant u par u* on a :
COROLLAIRE 14.62. - Soit u un opérateur linéaire d'adjoint u* sur E
euclidien. On a Imu* = (Keru)..l et Keru* = (Imu)..l.
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Pour justifier le théorème 14.61 on a utilisé le fait d'être en dimension
finie car en dimension quelconque on peut avoir F sous-espace de E,
isomorphe à E avec F s; E. Pour le résultat suivant, on peut aborder
la dimension quelconque. Simplement dans ce cas tout opérateur u n'a
pas forcément droit à son adjoint : cela devient une faveur obtenue par
certains opérateurs seulement!
THÉORÈME 14.63. - Soit E préhilbertien réel. Si u E Hom (E) est tel qu'il
existe v E L(E) vérifiant
V(x, y) E E 2 , (u(x), y) = (x, v(y))
alors v est unique à vérifier cette identité.
Car si on avait aussi w dans L(E) tel que
'i(x,y) E E 2 , (u(x),y) = (x,w(y)) = (x,v(y))
on aurait (x,w(y) - v(y)) = 0, valable V(x,y) E E 2 , donc, pour y fixé,
w(y )-v(y) E E..l, noyau réduit à 0 de la forme bilinéaire produit scalaire.
D'où, 'iy E E, w(y) = v(y).
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