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Analyse fonctionnelle
à ô(u*(y)) = tiL(ô(y)) et conduit à u*(y) = (o- 1 otuoô)(y), ce qui prouve
l'unicité de u* telle que V(x,y) E E 2 , (u(x),y) = (x,u*(y)), et l'égalité
u* = s- 1 0 tu 0 ô prouve la linéarité de u*.
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DÉFINITION 14.57. - L'opérateur u* vérifiant (u(x), y) = (x, u*(y)) pour
tout (x,y) de E 2 s'appelle l'adjoint de u.
La propriété
14.58.
V(x, y) E E 2 , (u(x), y) = (x, u*(y))
ou la formule
14.59.
permettent de vérifier très facilement les propriétés suivantes.
THÉORÈME 14.60. - Sur E euclidien on a :
1) \l(u,v) E (Hom (E)) 2 , (u + v)* = u* + v*,
2) \/(À, u) ER x Hom (E), (.Xu)* = .Xu*,
3) V(u,v) E (Hom(E)) 2 , (uov)* = v* ou*,
4) Vu E HomE, (u*)* = u,
5) u E GL(E) *> u* E GL(E) et (u*)- 1 = (u-1)*,
6) det u* = det u,
7) si A est la matrice de u dans une base orthonormée de E, celle de
u* dans cette base est t A
Par exemple : justifions le 7). Si Best une base orthonormée de E,
la matrice du produit scalaire dans la base B est In. or c'est celle de ô,
(Algèbre, Théorème 11.32), donc la matrice de 15-l otuoô est In t Ain = t A,
si A est celle de u.
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Voici d'autres propriétés.
THÉORÈME 14.61. - Soit u en endomorphisme de E euclidien et u* son
adjoint. On a Imu = (Keru*).L et Keru = (Imu*).L.
Soit y = u( x) un élément de Im u. Il est dans (Ker u* ).L car pour tout
z de Keru* on a
(y, z) = (u(x), z) = (x, u*(z)) = (x, 0) = 0