Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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llw1A ... ÂWn-111=1 d'où
llv1 A··· Avn-111 = llv11111w211 · ·. llw~-111
n-1
avec chaque llwjll :s:;; llvill, on a bien llv1 A ... ÂVn-111 :s:;; Il llvill· •
j=l
Nous arrivons à une notion importante, (et amusante) dans les espaces
euclidiens, celle d'adjoint d'un opérateur. Elle est amusante car les opérateurs linéaires vont se balader de droite à gauche, de gauche à droite
(est-ce un parcours politique?) dans le produit scalaire, chaque passage
faisant gagner une étoile, (c'est militaire) mais les étoiles ne se cumulant pas (pauvres généraux) car deux étoiles valent 0 étoile ! Cette notion
d'adjoint est tellement importante qu'elle mérite un paragraphe pour elle
toute seule.
5. Adjoint d'un opérateur linéaire
THÉORÈME 14.56. - Soit E euclidien et u E Hom (E). Il existe une et une
seule application linéaire, notée u*, de E dans E telle que V(x, y) E E 2 ,
(u(x), y} = (x, u*(y)}.
Soit 8 l'application linéaire de E dans son dual E* définie par
ô(y)(x) = (x, y}, pour x et y dans E, (voir Algèbre 11.2, la définition
de 8).
La forme bilinéaire produit scalaire étant non dégénérée, le noyau de
8 est récluit à {O}, (Algèbre, Théorème 11.17), donc 8 est injective de E
dans E*, espaces vectoriels de même dimension : 8 est un isomorphisme.
On a alors
(u(x), y}= ô(y)(u(x)) = (ô(y) o u)(x)
Comme ô(y) E E*, on a ô(y) ou= tu(ô(y)), (Algèbre, définition 6.100
pour tu), donc
(u(x), y} = (tu(ô(y)))(x)
Ce doit-être (x, u*(y)} = ô(u*(y))(x). Mais alors, pour y fixé dans E,
l'égalité ô(u*(y))(x) = (tu(ô(y)))(x), valable pour tout x de E, équivaut