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Analyse fonctionnelle
Schmidt. On aura w1 = l I~~ l I" Puis on cherche w2 = v2 + À1 w1 de
façon que ( w2, w1) = O. Mais alors v2 = w2 - À1 w1 donnera
llv211 2 = llw211 2 + .X~llw111 2 d'où llw211 ~ llv2ll·
W 1
V
On prend alors w2 = llw~ll = llwtll +vecteur colinéaire à v1.
p-1
A la pième étape. On choisit w~ = Vp + L O:jWj, les O:j étant choisis
j=l
tels que (w~, Wj} = (up, Wj} + O:j = 0 pour j = 1, ... ,p - 1.
On a donc w~ = vp+ un vecteur orthogonal à w~ : par Pythagore
llvpll 2 = llw~ll 2 +lice vecteur que j'aurais du nommer 11 2 ~ llw~ll 2 .
On prend alors
w'
1
Wp = llw~ll = llw~llvp+ un vecteur de Vect(w1,w2, ... ,Wp-l), donc
un vecteur de Vect (vi, v2, ... , Vp-1) = Vect (w1, ... , Wp-1).
La matrice de passage de vi, ... , Vp-1 à w1, ... , Wp-1 est donc triangulaire supérieure du type
w1
w2 ... Wn-1
v1
1
llv1ll
v2
1
*
llw211
0
1
llw~-111
Vn-1
Le produit vectoriel étant une application n - 1 linéaire alternée on a
les composantes suivant v1 de w2, puis suivant v1 et v2 de w3 ... disparaissant.
Par ailleurs, si Wn est unitaire dans ( w1, ... , Wn-1 ).l on a
w1 /\ ... /\ Wn-1 = ±wn. (vérification facile sur la définition), donc