Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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Il est facile de vérifier que l'application
( v1, ... , Vn- I) ~ VI /\ v2 /\ . . . /\ Vn-1 est n - 1 linéaire alternée.
On a donc v1 /\ ... /\ Vn-1 = 0 {::} { vi, ... , Vn-Ü liée.
Si V1, ... , Vn-1 sont les vecteurs colonnes des composantes de v1, ... ,
Vn-1 dans une base orthonormée directe B = (ei, ... , en) de E, et si on
n
note w = v1 /\ ... /\ Vn-I = L Wiei, on aura Wi = (w, ei} soit
i=l
0
0
Wi = (vi, · · ·, Vn-I1 ei) = Vi V2 ... Vn-I 1 ième ligne
0
0
où 6.i est le déterminant obtenu en supprimant la ième ligne de la matrice
(n, n - 1) des composantes de vi, ... , Vn-1 dans la base B.
A titre d'amusement, et pour voir comment interviennent ces notions,
justifions le résultat suivant :
THÉORÈME 14.55. - Soit E euclidien orienté de dimension n et v1, ... ,
n-I
Vn-I des vecteurs de E. On a llvI /\ ... /\ Vn-Ill ~ II llvill·
j=l
On est en structure euclidienne où la notion de base orthonormée est
fondamentale. Le produit vectoriel fait intervenir des bases orthonormées.
Le mieux est donc d'attacher une base orthonormée à la famille
{VI, ... , Vn-I}, si c'est possible, par le procédé d'orthonormalisation de
Schmidt, car la matrice de passage étant triangulaire son déterminant se
calcule aisément.
Ce préambule, c'est l'analyse de la situation, travail cérébral qui
permet alors de partir et de dire :
1° cas {v1, ... ,Vn-Ü famille liée, llv1 /\ ... /\ Vn-111 = llOll = 0,
l'inégalité est évidente.
2° cas { vi, ... , Vn-Ü est libre. On peut construire une famille
orthonormée { wi, ... , Wn-Ü• par le procédé d'orthonormalisation de