238 Analyse fonctionnelle
Soit B' une autre base orthonormée directe, et S la matrice de passage
de B à B', on sait que S est orthogonale directe.
Soient V{, ... , Vj, ... , V~ les vecteurs colonnes des composantes de
VI, ... , Vn dans la base B' et V' = (V{I ... 1 V~) la matrice de ces vecteurs
colonnes.
Les relations Vj = SV} traduisant le changement de base, donnent
l'égalité V= SV' et comme det S = 1, on a det V= det V'. Ceci justifie
la
DÉFINITION 14.52. - Soit E un espace euclidien orienté de dimension
n. On appelle produit mixte de n vecteurs VI, ... , Vn. le scalaire noté
(vI, v2, ... , Vn) = det (V), où V est la matrice des composantes de
VI, v2, ... , Vn dans une base B orthonormée directe de E.
L'application ( vi, ... , Vn) """' (VI, ... , vn), (remarquez la subtilité des
notations, à gauche c'est un n-uplet, à droite un scalaire!); disons plutôt :
le produit mixte est une application n-linéaire alternée.
14.53. On a (vI, ... ,vn) = 0 <=> {vI,V2, ... ,vn} famille liée, puisque
ceci ·équivaut à dire que la matrice V est de rang r < n, et que ce rang
est alors celui du système des vecteurs, (Algèbre, Théorème 9.45).
REMARQUE 14.53.bis - Si n = 3, le produit mixte de 3 vecteurs vi, v2, v3
est le volume du parallélépipède d'arêtes VI, v2, v3.
Produit vectoriel
Soient vi, ... , Vn-I des vecteurs fixés dans E euclidien de dimension
n, supposé orienté.
L'application f: E f--+ IR définie par v"""' f(v) = (vI, ... ,vn-i.v),
(produit mixte) est une forme linéaire, donc un élément du dual E*.
Mais alors, ô étant l'isomorphisme de E sur E* défini par la relation
ô(y)(x) = (x, y), ('v'(x, y) E E 2 ), il existe un et un seul vecteur w tel que
ô(w) = f ce qui équivaut à:
'v'v E E, (w,v) = (vi, ... ,Vn-i.v)
(produit mixte).
14.54. On note v1 /\ v2 /\ ... /\ Vn-I ce vecteur w, appelé produit vectoriel
de vi, ... , Vn-I·