Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens 237
n
Les applications oj,k : s ~ (}jk(S) = L SijSik sont continues de
i=l
Mn(IR) = Rn
2 dans IR car polynômiales, donc
est donc un .fermé de 1Rn 2 •
n
Il est borné car si L(Bij) 2 = 1, on a chaque lsijl ~ 1. On a un fermé
i=l
borné de 1Rn
2 donc un compact, (Tome 2, corollaire 2.22).
On peut également dire que(}: S ~ sts est continue de Mn(IR) dans
lui-même d'où On(IR) = o- 1 ({In}) fermé.
REMARQUE 14.51. - L'égalité S ts = In implique ( det 8) 2 = 1, donc, (sur
R), detS = 1 ou -1.
Comme S ~ det S est un morphisme de groupe de On(IR) dans
IR* multiplicatif, son noyau est un sous-groupe distingué de On(R), noté
SOn(IR) (sous-groupe orthogonal spécial d'ordre n sur R). L'interversion
des initiales venant de la notation anglaise. Comme chacun sait, la
traversée de la Manche à pour effet de retourner beaucoup de choses,
on roule à gauche, les adjectifs changent de place, sans parler d'autres
retournements ...
Les isométries associées aux matrices de SOn(IR) sont encore appelées
directes, ou rotations. Si l'espace E est orienté, les matrices de SOn(IR)
sont encore celles de changement de bases orthonormées, qui conservent
l'orientation, notion utilisée dans ce qui suit pour définir le produit mixte
et le produit vectoriel.
Produit mixte
Soit E euclidien de dimension n, orienté. Soit B une base orthonormée
directe, c'est-à-dire de même sens que la base dont le choix a orienté
l'espace. C'est-à-dire que la matrice de passage de B à la base de référence
est de déterminant positif.
Si Vi, V2, ... , Vn sont les vecteurs colonnes des composantes des
vecteurs v1, v2, ... , Vn dans la base B, on note V la matrice carrée d'ordre
n ayant les Vj pour vecteurs colonnes.
n
Les applications oj,k : s ~ (}jk(S) = L SijSik sont continues de
i=l
Mn(IR) = Rn
2 dans IR car polynômiales, donc
est donc un .fermé de 1Rn 2 •
n
Il est borné car si L(Bij) 2 = 1, on a chaque lsijl ~ 1. On a un fermé
i=l
borné de 1Rn
2 donc un compact, (Tome 2, corollaire 2.22).
On peut également dire que(}: S ~ sts est continue de Mn(IR) dans
lui-même d'où On(IR) = o- 1 ({In}) fermé.
REMARQUE 14.51. - L'égalité S ts = In implique ( det 8) 2 = 1, donc, (sur
R), detS = 1 ou -1.
Comme S ~ det S est un morphisme de groupe de On(IR) dans
IR* multiplicatif, son noyau est un sous-groupe distingué de On(R), noté
SOn(IR) (sous-groupe orthogonal spécial d'ordre n sur R). L'interversion
des initiales venant de la notation anglaise. Comme chacun sait, la
traversée de la Manche à pour effet de retourner beaucoup de choses,
on roule à gauche, les adjectifs changent de place, sans parler d'autres
retournements ...
Les isométries associées aux matrices de SOn(IR) sont encore appelées
directes, ou rotations. Si l'espace E est orienté, les matrices de SOn(IR)
sont encore celles de changement de bases orthonormées, qui conservent
l'orientation, notion utilisée dans ce qui suit pour définir le produit mixte
et le produit vectoriel.
Produit mixte
Soit E euclidien de dimension n, orienté. Soit B une base orthonormée
directe, c'est-à-dire de même sens que la base dont le choix a orienté
l'espace. C'est-à-dire que la matrice de passage de B à la base de référence
est de déterminant positif.
Si Vi, V2, ... , Vn sont les vecteurs colonnes des composantes des
vecteurs v1, v2, ... , Vn dans la base B, on note V la matrice carrée d'ordre
n ayant les Vj pour vecteurs colonnes.