236 Analyse fonctionnelle
1; tss= In.
2; ts = s- 1 ,
3) sts =In.
14.46. On vérifie alors facilement que les matrices orthogonales sur K
forment un sous-groupe, pour le produit, de GL(n, K), noté O(n, K)
(groupe orthogonal d'ordre n sur K) ou encore On(K).
14.47. Nous venons de voir que le groupe O(n, IR) est le groupe des
matrices des isométries de E euclidien de dimension n, dans une base
orthonormée de E.
•
On peut analyser un peu plus la situation, jusqu'aux termes de S.
THÉORÈME 14.48. - Soit S une matrice carrée d'ordre n sur K, de terme
général Sij· Elle est orthogonale si et seulement si on a les relations
n
n
L SijSik = 0 si j -:f:. k et 1 si j = k; ou les relations L SujSvj = 0
i=l
j=l
si u -:f:. v, 1 si u = v.
En effet, le terme de la ime ligne, kième colonne de tss s'obtient à
partir de la jème ligne de t S, (donc la jème colonne de S), et de la kième
n
colonne de Set vaut L SijSik· Les premières égalités signifient donc que
i=l
tss= In. Les autres traduisent l'égalité sts =In.
•
REMARQUE 14.49. - Si K = IR, le premier groupe d'égalités traduit le fait
que les vecteurs colonnes de S sont orthonormés pour le produit scalaire
euclidien canonique de !Rn, ou encore que la matrice S est dans O(n,IR)
si et seulement si c'est une matrice de passage d'une base orthonormée à
une autre base orthonormée.
De même (S E O(n, IR)) <=?(ses vecteurs lignes forment une famille
orthonormée de Rn euclidien canonique).
REMARQUE 14.50. - On justifie facilement que On(IR) est un compact de
1Rn2.