Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens
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Si on développe ce produit scalaire, on obtient neuf termes, du type ....
+(u(Àx +µy), -Àu(x)) ... par exemple.
Dans chacun de ces termes, on peut, par bilinéarité, expulser les
scalaires en facteur de u. Il vient des termes du type
... (-.X)(u(.Xx +µy), u(x)) ...
La conservation du produit scalaire permet alors d'éliminer u, puis
on fait rentrer les scalaires là où ils étaient avant d'aller faire un tour à
l'extérieur: on a
... (-.X)((.Xx +µy), x) ...
puis
... + ((.Xx +µy), -Àx) ...
et la somme des neuf termes ainsi transformés n'est autre que le développement de
11(.Xx + µg) -Àx - µyll 2 = 0
puisque u a disparu. Magique, n'est-ce pas?
L'injectivité est alors évidente car llu(x)ll 2 = 0, avec u qui conserve
le produit scalaire, donc la norme, implique llxll 2 = 0 d'où x =O.
•
Le fait qu'un espace vectoriel soit de dimension finie entraîne, entre
autres conséquences, la traduction matricielle des propriétés, ce qui nécessite le choix d'une base. En structure euclidienne, les bases orthonormées
s'imposent, d'où la question légitime de savoir ce qu'est la matrice S d'une
isométrie, u, dans une base orthonormée B de E.
Soient x et y deux vecteurs de E, ayant'·pour matrices colonnes des
composantes dans B les matrices X et Y. On note S la matrice de u.
L'égalité (u(x), u(y)) = (x, y) se traduit matriciellement par :
t(SX)In(SY) = tXInY, In matrice du produit scalaire dans la base
orthonormée B.
On a donc l'identité t X(tSS)Y = t XInY, valable pour toutes matrices colonnes X et Y d'où l'égalité tss= In.
Cette égalité est elle-même équivalente à S ts = In et à S inversible
d'inverse s- 1 .
DÉFINITI0N 14.45. - Soit un corps commutatif K. On appelle matrice
orthogonale d'ordre n sur K toute matrice S, carrée d'ordre n vérifiant
l'une des 3 propriétés suivantes, équivalentes :