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Analyse fonctionnelle
Si on note M = (Tnrsh~r, s~n la matrice de p dans la base B, on aura
q
donc mki = L O:kjO:ij• or O:kjO:ij est le terme de la kième ligne, ëème
j=l
colonne du produit matriciel
q
On a bien M = LAi tAj.
j=l
Groupe orthogonal
•
On a vu que sur E, espace vectoriel muni d'une forme quadratique,
on appelle opérateur orthogonal tout automorphisme u de E vérifiant :
Vx E E, (u(x)) = (x), (Algèbre, définition 11.26).
14.43. Dans le cadre des espaces préhilbertiens, on parlera d'isométrie
puisque u conservant , conserve la norme en fait, et on peut affaiblir la
définition parce que est définie positive.
THÉORÈME 14.44. - Si u est une application de E dans E, espace euclidien,
qui conserve le produit scalaire, alors u est linéaire injective donc c'est une
isométrie.
Linéaire injective impliquera surjective puisque E est de dimension
finie. Dans le cadre de E préhilbertien réel, il faudrait imposer u surjective
pour conclure u isométrie.
Ou veut justifier la iinéarité de u, c'est-à-dire que V(x, y) E E 2 et
V(>..,µ) E IR 2 , on a u(>..x +µy)= >..u(x) + µu(y). On dispose d'une forme
quadratique définie positive (ou non dégénérée positive). La nullité d'un
vecteur sera obtenue s'il est dans le cône isotrope, (ou dans le noyau,
démarche utilisée pour l'adjoint, un peu plus loin). C'est pourquoi on
calcule llu(>..x +µy) - >..u(x) - µu(y)ll 2 , soit encore
(u(>..x +µy) - >..u(x) - µu(y), u(>..x +µy) - >..u(x) - µu(y))